Isometria

ISOMETRÍA

Es una aplicación matemática entre dos espacios métricos que conserva las distancias entre los puntos. Es decir, las isometrías son los morfismos de la categoría de espacios métricos

Formalmente si E1 y E2 son dos espacios métricos una isometría φ viene definida por lo siguiente:

Siendo d1(•,•) y d2(•,•) las respectivas funciones de distancia en los dos espacios métricos E1 y E2.

ORIGEN DE LA ISOMETRÍA.

La palabra isometría tiene su origen en el griego iso (igual o mismo) y metria (medir), una definición cercana es igual medida. Existen tres tipos de isometrías: traslación, simetría y rotación.

LAS TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS.

Se denomina transformación isométrica de una figura en el plano aquella transformación que no altera ni la forma ni el tamaño de la figura en cuestión y que solo involucra un cambio de posición de ella (en la orientación o en el sentido), resultando que la figura inicial y la final son semejantes, y geométricamente congruentes

Transformaciones isométricas por Congruencia

Los teoremas de congruencia en la geometría elemental dicen, que es suficiente verificar que ciertas partes (ángulos o lados) de los triángulos coinciden para poder concluir que son iguales en todas las partes

Transformaciones isométricas por Traslación

En una transformación isométrica por traslación se realiza un cambio de posición de la figura en el plano. Es un cambio de lugar, determinado por un vector

En general, se llama traslación de vector (v) a la isometría que a cada punto m del plano le hace corresponder un punto m' del mismo plano, tal que mm' es igual a v.

Las traslaciones isométricas están marcadas por tres elementos:

La dirección, si es horizontal, vertical un oblicua.

El sentido, derecha, izquierda, arriba y abajo.

Y la magnitud del desplazamiento que se refiere a cuánto se desplazó la figura en una unidad de medida

Transformaciones isométricas por Rotación

Una rotación, en geometría, es un movimiento de cambio en la orientación de un cuerpo; de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo, y tiene las siguientes características:

Un punto denominado centro de rotación.

Un ángulo

Un sentido de rotación.

Estas transformaciones por rotación pueden ser positivas o negativas dependiendo del sentido de giro.

Para el primer caso debe ser un giro en sentido contrario a las manecillas del reloj, y será negativo el giro cuando sea en sentido de las manecillas.

Transformaciones isométricas por inversión

De la definición de inversión, está claro que toda recta que pase por el centro de inversión es invariante.

"La imagen de toda recta que no pase por el centro de inversión es una circunferencia que pasa por el centro de inversión".

Sea r una recta que no pase por el centro de inversión O y sea P el pie de la perpendicular a r por el punto O y Q su imagen en la inversión. Sea A un punto arbitrario de r, distinto de P y sea B el pie de la perpendicular por el punto Q a la recta OA. Los triángulos OAP y OQB son semejanes y de las razones

Transformaciones isométricas por Simetría

El concepto simetría se nos presenta de forma natural y nos entrega ejemplos de gran belleza en nuestro entorno.

Tanto la figura del escarabajo como de la mariposa se ven simétricas, pues si trazamos una línea recta en el centro de cada una, la parte que está a la derecha de la línea sería exactamente igual a la parte que está a la izquierda de esa misma línea.

Sobre la base de estos dos ejemplos, se descubre fácilmente que hay una transformación que hace que la parte izquierda de la figura sea un reflejo de la parte derecha sin cambiar su forma ni sus dimensiones.

Esto nos lleva a afirmar que Simetría es la correspondencia exacta (un reflejo) en la disposición regular de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un punto (centro), una recta (eje de simetría) o un plano.

Definido o conocido el concepto de simetría, podemos agregar que la simetría puede ser central o axial

Transformaciones simétricas por eje de simetría

Es el trazado de una línea por el centro de esta, que la divide en dos partes iguales. Dicha línea recibe el nombre de "eje de simetría" y en la similitud hecha anteriormente, actúa como espejo definiendo así los sectores iguales que se muestran "reflejados".

Transformaciones simétricas por Simetría axial

La simetría axial, en geometría, es una transformación respecto de un eje de simetría, en la cual, a cada punto de una figura se asocia a otro punto llamado imagen, que cumple con las siguientes condiciones:

a) La distancia de un punto y su imagen al eje de simetría, es la misma.

b) El segmento que une un punto con su imagen, es perpendicular al eje de simetría.

En la simetría axial se conservan las distancias pero no la dirección de los ángulos. El eje de simetría es la mediatriz del segmento AA'.

Transformaciones simétricas por Simetría central

La simetría central, en geometría, es una transformación en la que a cada punto se le asocia otro punto, que debe cumplir las siguientes condiciones:

a) El punto y su imagen estén a igual distancia de un punto llamado centro de simetría.

b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenezcan a una misma recta.

Según estas definiciones, con una simetría central se obtiene la misma figura con una rotación de 180 grados.

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