Tipos de Isometrías en el Plano

Teselaciones

Imaginemos a nuestra disposición una provisión infinita de piezas de rompecabezas, pero todas iguales: se dice que la pieza es teselante cuando es posible acoplarlas entre sí sin huecos ni fisuras hasta recubrir por completo el plano; la configuración que en tal caso se obtiene recibe el nombre teselación.

Las teselaciones han sido utilizadas en todo el mundo desde los tiempo más antiguos para recubrir suelos y paredes, e igualmente como motivos decorativos de muebles, alfombras, tapices, ropas,...

También muchos artistas han utilizado teselaciones en su trabajo: M.C. Escher es, probablemente, el más famoso de todos ellos. El artista holandés se divirtió teselando el plano con figuras de intrincadas formas, que recuerdan pájaros, peces, animales...

Como es fácil de imaginar, la diversidad de las formas de las piezas teselantes es infinita. Los matemáticos y en particular los geómetras se han interesado especialmente por las teselaciones poligonales; incluso las más sencillas de estas plantean problemas colosales.

Algunas teselaciones importantes

Cuando todos los polígonos de la teselación son regulares e iguales entre sí, se dice que la teselación es regular.

Ahora bien, sólo existen tres teselaciones o mosaicos regulares: la malla de triángulos equiláteros, el reticulado cuadrado como el del tablero de ajedrez y la configuración hexagonal, como la de los paneles.

Teselación de Triángulos

Teselación de Cuadrados

Teselación de Hexágonos

Isometrías

Un movimiento o isometría es una transformación que preserva todas las distancias y por ello preserva el tamaño y la forma. (Nota: iso significa "igual" y metría significa "medida"). La imagen de una figura bajo esta transformación siempre es congruente con la figura original.

Tipos de isometrías en el plano

Traslación: Isometría en que todos los puntos se desplazan una distancia fija hacia sus imágenes a lo largo de trayectorias paralelas.

Rotación: Isometría en que todos los puntos giran un ángulo constante con respecto a un punto fijo. El punto fijo se denomina centro de rotación y la cantidad de giro se denomina ángulo de rotación.

O centro de rotación

a ángulo de rotación

Reflexión: Isometría en que todos los puntos son enviados a sus imágenes reflejadas con respecto a una recta de reflexión, que actúa como espejo.

Eje y actúa como recta de reflexión

El embaldosado con Transformaciones Isométricas

La simple observación y análisis de embaldosados, nos permite comprobar que estos se construyen sobre la base de transformaciones isométricas, como en los siguientes ejemplos:

Embaldosado por traslación Embaldosado por rotación Embaldosado por reflexión

Traslación, Rotación y Reflexión son tres transformaciones isométricas mediante las cuales puede hacerse coincidir una figura consigo misma.

Ejemplos de teselaciones

Ejercicios

Pentominos

Alrededor de la piscina de 4 × 7 queremos colocar césped artificial. Para ello disponemos de piezas que tienen la forma de los pentominós; en el manual de instrucciones nos confirman que con las mismas podemos cubrir todo el campo, sin cortar ni superponer ninguna pieza.

Por favor, ayúdanos a colocar el césped.

Geoplano

Construir en el geoplano todas las figuras posibles formadas por 4 triángulos rectángulos de igual superficie, unidos por los catetos o por la hipotenusa.

Se pueden construir más de 10 figuras diferentes.

Teselaciones

Los trabajadores de la construcción hacen paredes y suelos montando grandes cantidades de cuerpos sólidos geométricos, la mayoría de las veces, idénticos. Muchas aceras, calzadas, zócalos, frisos e incluso paredes completas se hacen con losetas de diferentes tamaños, formas y unidas entre sí en distintas posiciones.

A las losetas que cubren una superficie plana y se ajustan bien entre sí, sin dejar huecos ni montarse unas encima de otras, se les llaman teselas. Cuando una superficie se puede cubrir perfectamente en todas las direcciones con este tipo de losetas o teselas, decimos que hemos realizado una teselación.

La figura A es un pentominó, con ella podemos rellenar el plano, es decir, podemos hacer una teselación -figura B-. Observen que no deja huecos ni se monta una sobre otra.

Utilizando los polígonos regulares que se dan, investigar cuál o cuáles de ellos pueden ponerse alrededor de un vértice sin que dejen huecos ni se monten unos encima de otros.

Combinando más de un polígono regular, construir distintas teselaciones.

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Teselación

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Una teselación vista en el pavimento de una Calle

Teselación Hexagonal de un Piso

Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre o pavimenta completamente una superficie plana que cumple con dos requisitos:

1. que no queden huecos

2. que no se superpongan o traslapen las figuras.

Las teselaciones se crean usando transformaciones isométricas sobre una figura inicial.

Distintas culturas en el tiempo han utilizado esta técnica para formar pavimentos o muros de mosaicos en catedrales y palacios.

Contenido

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Antecedentes históricos [editar]

• Algunos mosaicos sumerios con varios miles de años de antigüedad contienen regularidades geométricas.

• Arquímedes en el siglo III a. de C. hizo un estudio acerca de los polígonos regulares que pueden cubrir el plano.

• Johannes Kepler, astrónomo alemán, estudió los polígonos regulares que pueden cubrir el plano, en su obra “Harmonice mundi” de 1619. Además realizó estudios en tres dimensiones de los llamados sólidos platónicos.

• Entre 1869 y 1891, el matemático Camille Jordan y el cristalógrafo Evgenii Konstantinovitch Fiodorov estudiaron completamente las simetrías del plano, iniciando así el estudio sistemático y profundo de las llamadas teselaciones.

• Un personaje clave en este tema es el artista holandés M. C. Escher (1898-1972) quien, por sugerencia de su amigo el matemático H. S. M. Coxeter, aprendió las teselaciones hiperbólicas, lo que motivó su interés por el palacio de La Alhambra en Granada. Legó un sinnúmero de bellas, curiosas y misteriosas obras de arte.

ángulos que concurren a un vértice

Conceptos previos [editar]

• En una teselación plana la suma de todos los ángulos que concurren a un vértice es 360º.

• Un polígono es regular si tiene todos sus lados y ángulos iguales.

• Un polígono es convexo si todas sus diagonales están en el interior del polígono.

• Un polígono es cóncavo si no es convexo.

Teselaciones regulares [editar]

Los únicos polígonos regulares que cubren completamente una superficie plana son: el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono.

Como la unión en cada vértice debe sumar 360º para que no queden espacios, los únicos polígonos regulares que suman 360 al unirlos por sus ángulos, interiores son estos tres.

Triángulos equilateros

Cuadrados

Hexágonos

Teselaciones semi-regulares. [editar]

Son aquellas que contienen 2 o más polígonos regulares en su formación. Una teselación semi-regular tiene las siguientes propiedades:

1. Esta formada sólo por polígonos regulares.

2. El arreglo de polígonos es idéntico en cada vértice.

3. Existen sólo 8 teselaciones semi-regulares

8 8 4

3 3 3 4 4

3 3 4 3 4

3 3 3 3 6

3 12 12

3 4 4 6

3 6 3 6

4 6 12

Teselaciones con figuras semi-regulares

8 8 4

3 3 4 3 4

3 3 3 3 6

3 12 12

3 4 4 6

3 6 3 6

4 6 12

Teselaciones no regulares [editar]

Son aquellas formadas por polígonos no regulares

Cuadriláteros [editar]

Cualquier paralelogramo tesela, ya que solo debemos prolongar sus lados paralelos y construir los nuevos paralelogramos congruentes al primero.

Con cualquier cuadrilátero, ya sea cóncavo o convexo, es posible cubrir una superficie plana. En el caso Cóncavo es fácil de demostrar por el Teorema de Varignon, que los puntos medios de todo cuadrilátero forman un paralelogramo y luego Tesela. Este método se llama Método de la Malla Invisible

Triángulos [editar]

Con un triángulo escaleno es posible cubrir todo el plano. Esto se verifica formando el paralelogramo correspondiente.

Hexágonos [editar]

Teselación de El Cairo [editar]

Teselación de El Cairo

Esta teselación aparece frecuentemente en las calles de El Cairo, Egipto y en el arte islámico, de ahí su nombre.

El pentágono posee sus 5 lados de la misma medida. Tiene dos ángulos rectos, un ángulo de aproximadamente 131,5° y dos ángulos de 114,25°.Como para todo pentágono, la suma de sus ángulos es de 540°.

Polígonos Cóncavos [editar]

Flecha

Cruz

20515

Construcción de teselas [editar]

Método quita y pon [editar]

Consiste en dibujar una figura geométrica que por si sola tesele el plano, como un paralelogramo o un triángulo. Luego, se le van sacando partes de un lado, para luego ponerlas en el lado contrario. Luego se repite esta imagen n veces y se van colocando de modo que encajen perfectamente, utlizando las transformaciones isométricas (traslación, rotación y simetría). Escher se hizo famoso por sus cuadros de teselaciones construidos con este método.

Teselaciones e isometría [editar]

A partir de los movimientos o transformaciones en el plano se pueden lograr diversos diseños.

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