LA Administracion

Introducción

El cálculo diferencial es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo infinitesimal. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada.

El presente trabajo tiene por objeto mostrar su relación con la economía, con base en problemas similares a los de la física que dieron origen al cálculo, pero con otro tipo de lenguaje, y ejercicios que ayuden a desarrollar y a rearmar los conceptos básicos del cálculo, y tener un panorama más amplio en cuanto a la aplicación que se le puede dar al cálculo.

En este trabajo se presenta una exposición de cómo se pueden enriquecer algunos temas del cálculo, brindando un material propio extra clase que ayude a entender y comprender los conceptos vistos en el aula.

En los siguientes capítulos se muestran diversas aplicaciones de los temas de funciones, derivadas, máximos y mínimos, dibujo de gráficas, integración, ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y una introducción a varias variables; los cuales fueron los contenidos encontrados respecto al cálculo diferencial.

CALCULO DIFERENCIAL EN LA ECONOMIA

Una de las aplicaciones en la economía es cuando se produce un bien o se presta un servicio se genera un costo para una organización, que puede ser de tipo comercial, industrial, etc.

Esto conlleva a las funciones de costo, que pueden ser de diferentes tipos:

Función de costo total:

La función costo total Q(x) es una relación cuyo dominio es un subintervalo A de R+ que representa la cantidad de producción y cuyo codominio es R+ = (0; 1) elevado a la 1; es decir,

Q: A ½ R+ ! R+!

x Q(x)

Esta función representa el dinero que sale de una organización y se encuentra determinada en términos de dos componentes: costo variable y costo. Donde los costos variables representan los costos de las materias primas y los costos relacionados con la mano de obra, entre otros; los costos representan los costos en los que se incurre, por ejemplo, por concepto de renta del edificio y manutención de la organización. Así:

Costo total = Costo variable + Costo

EJEMPLOS:

1.- Una empresa desea adquirir un auto más, para el reparto de sus productos; el costo de adquisición del nuevo auto es de $50,000 se ha estimado que el costo por operar el auto es de $2 por kilómetro recorrido y que puede recorrer 100,000 kilómetros antes del primer ajuste.

Determinar la función costo total para este caso, considerando la obtención y operación del nuevo auto.

Solución:

50,000 representa el costo total

2 representa el costo total variable.

Sea x el número de kilómetros recorridos, entonces:

Q(x) = 2x + 50; 000

donde x= 2 (0; 100 000) ½ R+ : representa el costo del auto al recorrer x kilómetros.

Función costo promedio.

Anteriormente se definió la función costo total Q(x). Ahora se define una función q(x) que se llama función costo promedio, la cual se refiere al costo por producir una sola unidad, es decir,

q : A ½ R+ ! R+

x !q(x)

donde, q(x) =Q(x): x

Es claro que los valores del dominio no son arbitrariamente grandes ya que representan la cantidad de producción de un artículo, y la cota superior de dicho intervalo está determinada por el productor al tomar en cuenta la cantidad máxima que puede producir.

EJEMPLOS

Determinar la función costo promedio de las funciones vistas en los ejemplos anteriores.

1.- La función costo total está representada por

Q(x) = 2x + 50; 000

La función costo promedio es,

Q(x) = 2 + 50; 000

x: donde x 2 (0; 100 000) ½ R +:

que representa el costo del auto por cada kilómetro recorrido.

FUNCIONES DEMANDA E INGRESO

Función demanda.

Definimos como demanda a la cantidad de un artículo que un individuo está dispuesto a comprar en un precio específico.

La función demanda d = x(p) es una relación matemática que expresa la variación de demanda de un producto, que cambia según el precio al que se venda, donde su dominio es un subintervalo B de R+ que representa el precio del artículo y cuyo condominio es R+, es decir,

x : B ½ R+ ! R+ ;

p ! x(p)

donde x(p) es la función demanda que representa la cantidad demandada en función del precio.

Observación: Análogamente a lo que sucede con los costos, el dominio de la función demanda es un subconjunto de los números reales (en la práctica es un conjunto discreto); por esta razón los economistas aproximan las funciones de…nidas en este conjunto por medio de métodos estadísticos o por extrapolación.

De lo anterior podemos determinar la función inversa (que también es una función demanda

d = p(x)) que es,

x¡1 : R+ ! B ½ R+

x ! p(x)

donde p(x) representa el precio en función del número de unidades demandadas x:

La ley de demanda dice que es invariable utilizar el precio en función de la cantidad o utilizar la cantidad en función del precio, por tanto las funciones demanda anteriores son equivalentes.

FUNCIÓN INGRESO TOTAL

El ingreso de una organización

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