Las funciones matemáticas

Una función f(x) se dice que tienen un máximo relativo en x=xo si f(xo) f(x) para todo x en algún intervalo abierto que contenga a o es decir, si el valor f(x) es mayor o igual que los valores de f(x) se dice que tienen un mínimo relativo en x= xo

Si f(x0) f(x) para todo x en algún intervalo , abierto que contenga a x0, esto es si el valor f(xo ) es menor es igual que los valores de f(x) en todos los puntos próximos.

Problema: localiza los valores máximos y mínimos de a) y=-x2 b) y= (x-3)2 c) y= raíz cuadrada 25-4x2 d) y= raíz cuadrada x-4

Solución: a) y= -x2 tienen un máxima o relativa (=0) cuando x=0 ya que y= 0 cuando x=0 a y es menor 0 cuando x=0

B) Y=(x-3) tienen un mínimo relativo (=0) cuando x=3 ya que y= 0 cuando x= 3 o y es mayor 0 cuando x=3

C) Y= raíz cuadrada 25-4x2 tienen un máximo relativo (=5) cuando x=0 ya que y=5 cuando x=0 o y es menor 5 cuando -1menor xmenor1

D) Y= raíz cuadrada x-4 no tienen un máximo relativo ni mínimo relativo ( algunos actores definen los valores máximos relativos o los mínimos relativos demando que esta función tienen una mínima relativa en x=4

Función monologas y Criterio de la primera derivada

Las siguientes pasos pueden seguirse para hallar los valores de máximas relativos o mínimos relativos ( llamados desde , ahora simplemente valor máxima y valor mínimo) de una función f(x) que, junto son su primera derivada es continua:

1. Resolver f(x) =0 hallar los valores criterios

2. Localizarse los valores criterios en el eje x , con lo que se determina un cierto número de intervalos

3. Averiguar el signo de f´´(x) en cada intervalo

4. Pasar por cada valor critico x= xo con x crecientes ( izquierda a derecha) entonces:

. f(x) tienen un valor máximo f( xo)si f´(x) cambia de x a –

Xo

..f(x) tienen un valor mínimo f(xo) si f)x) cambia de - a x

xo

, f(x9 no tienen ni valor máximo ni valor mínimo en x= xo si f´(x) no cambia de signo

Concavidad

Un acorde una curva y= f(x) se llama cóncava hacia arriba si en cada uno de sus puntos del arco está por encima de la tangente en ese punto al crecer x f´(x) o bien es del mismo signo y creciente o cambia de signo de negativo a positivo en ambas situaciones la pendiente f´(x) es creciente y f.(x) mayor o

Un arco de una curva y= f(x) se dice cóncava hacia abajo si cada uno de sus puntos el arco están debajo de la tangente en ese punto al crecer x f´(x) o bienes del mismo signo y decreciente cambia de signo positivo a negativo. En ambos calos la pendiente f´(x) es decreciente y f´(x) menor o.

xo xo

Criterio de la segunda derivada

Hay otro criterio posiblemente más útil para máximas y mínimos

1. Resolver f´(xo)= 0 para hallar los valores críticos

2. Para un valor critico x= xo

F(x) tienen un máximo f (xo) si f´(xo) menor o

Xo

f (x) tienen un mínimo f(xo) si f´(xo) mayor o

El criterio no decide en caso de ser f´ (xo)= o o infinito

xo

xo

en este caso hay que usar el criterio de la primera derivada

. Asíntotas verticales y horizontales

Un asíntota vertical: es una receta que se encuentra asociada a las graficas de algunas curvas y que se comporta como un límite grafico hacia la cual la grafica se aproxima indefinidamente nunca la toca y mucho menos la brinca. a medida que la variable independiente de la función tiende hacia un cierto valor, corresponde variable dependiente que este sea en general la recta puede tener cualquier orientación caso únicamente estudiaremos las:

Asíntotas verticales como su nombre lo indica son recta verticales asociados a la función se encuentra al presentes únicamente en funciones racionadas de la forma: f(x)= g(X)/ h(X) y se determinan encontrado las raíces del denominador h(x) correspondientes tales valores reciban el nombre de polos de la función . entonces el numero o de polos asociados a una función determinada el numero de asíntotas verticales que tienen tal función sea el ejemplo siguiente :

Obtenga las asíntotas verticales de las funciones f(x) 4/x-4 como lo indicamos en el párrafo anterior para determina las asíntotas de la función obtenemos sus polos , lo que , como ya mencionamos son los valores de x para las cuales h(X)=o sabemos que en los casos en los cuales h(X) = o la función se indeterminada es decir su valor tiende a infinito en este ejemplo la asíntotas se encuentra en x-4=o es decir en x=4. La recta x= 4 es la asíntota de esta función que es única ya que el denominador es un término lineal lo que implica que solamente en un valor se anula . la grafica correspondiente en ella vemos que a medida que x se aproxima a 4 cociente aumenta indefinidamente.

10 4

-10

0 10

F(X)

-10

Asíntota horizontales como lo es su nombre lo indica son rectas horizontales asociados a la función se encuentra presentes únicamente en funciones racionales de la forma: f(x)= g(x)/h(X) y se determina que la variable independiente ´´x´´ tiende al infinito lo que trae como consecuencia que la función cociente tiende a un valor determinado de fijo al que nunca va a llegar y muchos menos sobrepasar considerase el caso de una función racional cuyos términos son polinomios de por f(X)=p(X)/q(X) dependiendo de la elación entre los grados de los dos polinomios tendremos los siguientes

1. El polinomio p(X) del numerador y polinomio q(x) del denominador tienen el mismo mayor . ejemplo obtenga las asíntotas verticales (es) y horizontales (es) de la siguiente función f(X):= (4x+1)/x-2

2. 1. La asíntota vertical se en encuentra en el polo de la función que es este en caso está en x-2=0 x=2 es decir , la recta x=2 es la asíntota vertical.

20 2

4

F(X) 10 5 0 0 5 10

20

La asíntota horizontal se encuentra en el cociente de los términos de mayor exponente como ya se indico la recta y=4 es la asíntota horizontal según mostrados en la figura anterior.

2 el grado de polinomio q(X) del denominador es mayor que el grado del polinomio p(x) del numerador este caso la asíntota es la recta y=o como veremos en el siguiente ejemplo determina las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes función f(X)= 4x+1/x2-5x+6=0 (x-2) (X-3)asíntotas verticales son las rectas x=2 y=3 f(X)= (4x+1)/x2-5x+6

50

F(X)

2

50 4 6 8

3 el grado del polinomio q(X) del denominador es menor que el grado polinomio p(X)del numerador en este caso no hay asíntota horizontal

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión es un punto en el que una curva cambia de cóncava hacia arriba a cóncava abajo o viceversa. Una curva y= f(x) tienen en x= xo y un punto de inflexión si f´´ (xo)=.0 o cambia de signo al crecer x a través de xo.

Un punto de inflexión en una curva es el que separa arcos que tienen su concavidad en sentidos opuestos en la figura 40 b es un punto de inflexión cuando el punto que describe una curva pasa por un punto de inflexión , la segunda derivada cambiara de signo en ese punto , y si s continua debe anularse luego, necesariamente , se verifica la siguiente igualdad:

y

b c

a

0 x

R

B

S

T

0 X

1

Resolviendo la ecuación que resulta de 1 se obtienen las abscisas de los puntos de inflexión. Para determinar el sentido de la concavidad cerca de un punto de inflexión, basta calcular f´´ (x) para un valor de x un poco menor que la abscisa en ese punto y después para un valor un poco mayor que ella. Si f´´ (X) cambia de signo , tenemos un punto de inflexión, y los signos que obtenemos determina si en la vecindad del punto la curva es cóncava hacia arriba o hacia abajo. En lector debe observar que cerca de hacia

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