Las funciones matemáticas

Una función f(x) se dice que tienen un máximo relativo en x=xo si f(xo) f(x) para todo x en algún intervalo abierto que contenga a o es decir, si el valor f(x) es mayor o igual que los valores de f(x) se dice que tienen un mínimo relativo en x= xo

Si f(x0) f(x) para todo x en algún intervalo , abierto que contenga a x0, esto es si el valor f(xo ) es menor es igual que los valores de f(x) en todos los puntos próximos.

Problema: localiza los valores máximos y mínimos de a) y=-x2 b) y= (x-3)2 c) y= raíz cuadrada 25-4x2 d) y= raíz cuadrada x-4

Solución: a) y= -x2 tienen un máxima o relativa (=0) cuando x=0 ya que y= 0 cuando x=0 a y es menor 0 cuando x=0

B) Y=(x-3) tienen un mínimo relativo (=0) cuando x=3 ya que y= 0 cuando x= 3 o y es mayor 0 cuando x=3

C) Y= raíz cuadrada 25-4x2 tienen un máximo relativo (=5) cuando x=0 ya que y=5 cuando x=0 o y es menor 5 cuando -1menor xmenor1

D) Y= raíz cuadrada x-4 no tienen un máximo relativo ni mínimo relativo ( algunos actores definen los valores máximos relativos o los mínimos relativos demando que esta función tienen una mínima relativa en x=4

Función monologas y Criterio de la primera derivada

Las siguientes pasos pueden seguirse para hallar los valores de máximas relativos o mínimos relativos ( llamados desde , ahora simplemente valor máxima y valor mínimo) de una función f(x) que, junto son su primera derivada es continua:

1. Resolver f(x) =0 hallar los valores criterios

2. Localizarse los valores criterios en el eje x , con lo que se determina un cierto número de intervalos

3. Averiguar el signo de f´´(x) en cada intervalo

4. Pasar por cada valor critico x= xo con x crecientes ( izquierda a derecha) entonces:

. f(x) tienen un valor máximo f( xo)si f´(x) cambia de x a –

Xo

..f(x) tienen un valor mínimo f(xo) si f)x) cambia de - a x

xo

, f(x9 no tienen ni valor máximo ni valor mínimo en x= xo si f´(x) no cambia de signo

Concavidad

Un acorde una curva y= f(x) se llama cóncava hacia arriba si en cada uno de sus puntos del arco está por encima de la tangente en ese punto al crecer x f´(x) o bien es del mismo signo y creciente o cambia de signo de negativo a positivo en ambas situaciones la pendiente f´(x) es creciente y f.(x) mayor o

Un arco de una curva y= f(x) se dice cóncava hacia abajo si cada uno de sus puntos el arco están debajo de la tangente en ese punto al crecer x f´(x) o bienes del mismo signo y decreciente cambia de signo positivo a negativo. En ambos calos la pendiente f´(x) es decreciente y f´(x) menor o.

xo xo

Criterio de la segunda derivada

Hay otro criterio posiblemente más útil para máximas y mínimos

1. Resolver f´(xo)= 0 para hallar los valores críticos

2. Para un valor critico x= xo

F(x) tienen un máximo f (xo) si f´(xo) menor o

Xo

f (x) tienen un mínimo f(xo) si f´(xo) mayor o

El criterio no decide en caso de ser f´ (xo)= o o infinito

xo

xo

en este caso hay que usar el criterio de la primera derivada

. Asíntotas verticales y horizontales

Un asíntota vertical: es una receta que se encuentra asociada a las graficas de algunas curvas y que se comporta como un límite grafico hacia la cual la grafica se aproxima indefinidamente nunca la toca y mucho menos la brinca. a medida que la variable independiente de la función tiende hacia un cierto valor, corresponde variable dependiente que este sea en general la recta puede tener cualquier orientación caso únicamente estudiaremos las:

Asíntotas verticales como su nombre lo indica son recta verticales asociados a la función se encuentra al presentes únicamente en funciones racionadas de la forma: f(x)= g(X)/ h(X) y se determinan encontrado las raíces del denominador h(x) correspondientes tales valores reciban el nombre de polos de la función . entonces el numero o de polos asociados a una función determinada el numero de asíntotas verticales que tienen tal función sea el ejemplo siguiente :

Obtenga las asíntotas verticales de las funciones f(x) 4/x-4 como lo indicamos en el párrafo anterior para determina las asíntotas de la función obtenemos sus polos , lo que , como ya mencionamos son los valores de x para las cuales h(X)=o sabemos que en los casos en los cuales h(X) = o la función se indeterminada es decir su valor tiende a infinito en este ejemplo la asíntotas se encuentra en x-4=o es decir en x=4. La recta x= 4 es la asíntota de esta función que es única ya que el denominador es un término lineal lo que implica que solamente en un valor se anula . la grafica correspondiente en ella vemos que a medida que x se aproxima a 4 cociente aumenta indefinidamente.

10 4

-10

0 10

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