Ley De Hooke

Ley de Hooke

Cuando una fuerza externa actúa sobre un material causa un esfuerzo o tensión en el interior del material que provoca la deformación del mismo. En muchos materiales, entre ellos los metales y los minerales, la deformación es directamente proporcional al esfuerzo.

No obstante, si la fuerza externa supera un determinado valor, el material puede quedar deformado permanentemente, y la ley de Hooke ya no es válida. El máximo esfuerzo que un material puede soportar antes de quedar permanentemente deformado se denomina límite de elasticidad.

Ley de Hooke. Supongamos que, como en la figura, una masa m1 está unida a un resorte flexible colgado de un soporte rígido. Cuando se reemplaza rn1 con una masa distinta m2, el estiramiento, elongación o alargamiento del resorte cambiará.

Según la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución, F, opuesta a la dirección del alargamiento y proporcional a la cantidad de alargamiento s. En concreto, F = kx, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las masas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas, este está caracterizado esencialmente por su numero k; por ejemplo, si una masa que pesa 10 libras estira 1/2 pie un resorte, entonces 10 = k(1/2) implica que k = 20 lb/ft. Entonces, necesariamente, una masa cuyo peso sea de 8 libras estirará el resorte 2/5 de pie.

Segunda ley de Newton Después de unir una masa M a un resorte, ésta lo estira una longitud s y llega a una posición de equilibrio, en la que su peso, W, está equilibrado por la fuerza de restauración ks. Recuérdese que el peso se define por W = mg, donde la masa se expresa en slugs, kilogramos o gramos y g = 32ft/s2, 9.8m/s2 o 980cm/s2, respectivamente. Como se aprecia en la figura, la condición de equilibrio es mg = ks o mg - ks = 0. Si la masa se desplaza una distancia x respecto de su posición de equilibrio, la fuerza de restitución del resorte es k(x + s). Suponiendo que no hay fuerzas de retardo que actúen sobre el sistema y que la masa se mueve libre de otras fuerzas externas (movimiento libre), entonces podemos igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta, o resultante, de la fuerza de restitución y el peso:

El signo negativo de la ecuación indica que la fuerza de restitución del resorte actúa en la dirección opuesta del movimiento. Además, podemos adoptar la convención que los desplazamientos medidos abajo de la posición de equilibrio son positivos.

Ecuación diferencial del movimiento libre no amortiguado Si dividimos la ecuación (1) por la masa m, obtendremos la ecuación diferencial de segundo orden d2x/dt2 +(k/m)x = 0, 0 sea

Donde w2 = k/m. Se dice que la ecuación (2) describe el movimiento armónico simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias asociadas con (2) son x(O) = α, la cantidad de desplazamiento inicial, y x’(O) = β, la velocidad inicial de la masa. Por ejemplo, si α > 0, β < 0, la masa parte de un punto abajo de la posición de equilibrio con una velocidad hacia arriba. Si α < 0, β = 0, la masa se suelta partiendo del reposo desde un punto ubicado │α│ unidades arriba de la posición de equilibrio, etcétera.

Solución y ecuación del movimiento Para resolver la ecuación (2) observemos que las soluciones de la ecuación auxiliar m2 + w2 = 0 son los números complejos m1 = wi, m2 = -wi. Así, la solución general de (2) es

El periodo de las vibraciones libres que describe (3) es T = 2π/w, y la frecuencia es f = l/T = w/2π. Por ejemplo, para x(t) = 2cos3t - 4sen3t, el periodo es 2π/3 y la frecuencia es 3/2π. El número anterior indica que la gráfica de x(t) se repite cada 2π/3 unidades y el ultimo numero indica que hay tres ciclos de la gráfica cada 27r unidades o, lo que es lo mismo, que la masa pasa por 3/2π vibraciones completas por unidad de tiempo. Además, se puede demostrar que el periodo 2π/w es el intervalo entre dos máximos sucesivos de x(t). Téngase en mente que un máximo de x(t) es el desplazamiento positivo cuando la masa alcanza la distancia máxima abajo de la posición de equilibrio, mientras que un mínimo de x(t) es el desplazamiento negativo cuando la masa llega a la altura máxima arriba de esa posición. Ambos casos se denominan

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