Llamamos cuadrilátero a todo polígono de cuatro lados.

CUADRILÁTEROS

Llamamos cuadrilátero a todo polígono de cuatro lados.

Dentro de los cuadriláteros, algunos reciben nombres especiales por alguna característica particular que los distingue de otros. A continuación analizaremos las definiciones y propiedades de cada uno de ellos.

Para comenzar, es importante aclarar que en Matemática no debe confundirse lo que es la definición de un concepto con la descripción de sus propiedades. Las definiciones suelen ser enunciados minimales de condiciones necesarias y suficientes que debe cumplir un objeto para ser considerado un ejemplo del concepto que se está definiendo. El resto de las características constituyen las propiedades, que se demuestran a partir de la definición. La razón de la minimalidad de las definiciones es muy simple: economizar esfuerzos; si se debe demostrar que se está frente a un ejemplo de dicho objeto, debemos probar que cumple con todas las condiciones de su definición, por lo que es conveniente que ésta contenga el mínimo de condiciones posibles.

También es importante tener en cuenta que por la misma razón (economizar esfuerzos a la hora de demostrar) optamos por clasificaciones jerárquicas y no particionales. Por ejemplo, en la clasificación de los triángulos según sus lados, una clasificación particional sería:

Escaleno: tres lados diferentes

Isósceles: dos lados iguales y el otro distinto

Equilátero: los tres lados iguales

Esta clasificación se llama particional porque a partir de ella se establece una partición en el conjunto de todos los triángulos. Se ha establecido una partición en un conjunto cuando se han determinado una serie de subconjuntos de él de forma tal que cada elemento del conjunto `pertenece a uno y sólo uno de dichos subconjuntos. En este caso, cada triángulo pertenecerá a una y sólo una de las categorías (escaleno, isósceles, equilátero), ya que todo triángulo cumple alguna de las tres definiciones y ninguno puede cumplir más de una de ellas a la vez (sus condiciones son obviamente excluyentes).

En la clasificación jerárquica de triángulos consideramos isósceles a todo triángulo que tenga dos lados iguales, y si además el tercer lado también es igual a ellos, lo llamaremos equilátero. De esta forma, los triángulos equiláteros constituyen un caso particular de los isósceles. La ventaja de esta clasificación es que si queremos demostrar que un triángulo es isósceles alcanza con probar que tiene dos lados iguales (no hay que demostrar que el otro lado es diferente, lo que nos ahorra trabajo), y eventualmente podría ser equilátero sin que eso nos preocupe. Este tipo de clasificaciones (las jerárquicas), no establecen una partición en el conjunto de los objetos que estamos clasificando (en nuestro ejemplo los triángulos), ya que un triángulo puede ser equilátero e isósceles al mismo tiempo (de hecho todos los equiláteros son isósceles). Queda establecida una “jerarquía” dentro del conjunto de los triángulos, de modo que cada conjunto caracterizado por cumplir una condición está incluido en el anterior (el conjunto de los equiláteros está incluido en el de los isósceles).

Analizaremos ahora la clasificación de los cuadriláteros convexos, que en general comenzamos según el número de pares de lados incluidos en rectas paralelas (que en un abuso de lenguaje diremos simplemente lados paralelos) y se especifica por características que tienen que ver con igualdad entre lados o ángulos.

Escribiremos las definiciones en negrita y las propiedades (que se demuestran a partir de la definición) en cursiva.

Trapecio: Cuadrilátero con un par de lados paralelos (llamados bases del mismo)

Trapecio isósceles: Trapecio con los ángulos adyacentes a una base iguales.

Al ser paralelas las bases, podemos deducir que además se cumple que:

1) En todo trapecio isósceles, los ángulos adyacentes a cada base son iguales.

2) En todo trapecio isósceles, los dos lados no bases del mismo son iguales.

3) Si un trapecio tiene los lados no bases iguales, entonces es isósceles.

4) Las diagonales de todo trapecio isósceles son iguales.

5) Si las diagonales de un trapecio son iguales, es isósceles.

De las propiedades 2 y 3 podemos deducir que la igualdad de los lados no bases del trapecio es condición necesaria y suficiente para que un trapecio sea isósceles, por lo que podríamos haber elegido esa condición para la definición del mismo. En caso de que lo hiciéramos, lo que para nosotros fue la definición de trapecio isósceles pasaría a ser una propiedad que se demostraría a partir de ella.

Lo mismo ocurre con las propiedades 4 y 5: es condición necesaria y suficiente que las diagonales de un trapecio sean iguales para que éste sea isósceles. Podríamos por lo tanto haber elegido como definición de trapecio isósceles: es todo trapecio cuyas diagonales son iguales.

Trapecio

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