Los Numeros

Números naturales

El conjunto de los números naturales se representa por la letra , y está formado por:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}

Los números naturales sirven para contar los elementos de un conjunto (número cardinal). O bien para expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (número ordinal).

Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:

7 > 2; 5 es mayor que 3.

2 < 7; 3 es menor que 5.

Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.

Representación de los números naturales

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.

En una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los números naturales: 1, 2, 3...

Operaciones con números naturales

Suma de números naturales

a + b = c

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Propiedades de la suma

1.Interna:

a + b

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c)

3.Conmutativa:

a + b = b + a

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

Resta de números naturales

a - b = c

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.

Propiedades de la resta

1. No es una operación interna

2. No es Conmutativa

Mutiplicación de números naturales

a • b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

Propiedades de la multiplicación

1. Interna:

a • b

2. Asociativa:

(a • b) • c = a • (b • c)

3. Conmutativa:

a • b = b • a

4. Elemento neutro:

a • 1 = a

5. Distributiva:

a • (b + c) = a • b + a • c

6. Sacar factor común:

a • b + a • c = a • (b + c)

División de números naturales

D : d = c

Los términos que intervienen en un división se llaman, D, dividendo y d divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente.

Propiedades de la división

1.División exacta

D = d • c

2. División entera

D = d • c + r

3. No es una operación interna

4. No es Conmutativa.

5. Cero dividido entre cualquier número da cero.

6. No se puede dividir por 0.

Números enteros

El conjunto de los números enteros está formado por los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

Se dividen en tres partes: enteros positivos o números naturales, enteros negativos y cero.

Dado que los enteros contienen los enteros positivos, se considera a los números naturales son un subconjunto de los números enteros.

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

|−a| = a

|a| = a

Criterios para ordenar los números enteros

1. Todo número negativo es menor que cero.

−7 < 0

2.Todo número positivo es mayor que cero.

7 > 0

3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

−7 >− 10 |−7| < |−10|

4.De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

10 > 7 |10| > |7|

Operaciones con números enteros

Suma de números enteros

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2. Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = − 2

Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna:

a + b

3 + (−5)

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) •

(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]

5 − 5 = 2 + (− 2)

0 = 0

3. Conmutativa:

a + b = b + a

2 + (− 5) = (− 5) + 2

− 3 = − 3

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

(−5) + 0 = − 5

5. Elemento opuesto

a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

−(−5) = 5

Resta de números enteros

La diferencia de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b)

7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros

1.Interna:

a − b

10 − (−5)

2. No es Conmutativa:

a - b ≠ b - a

5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números enteros

La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

2 • 5 = 10

(−2) • (−5) = 10

2 • (−5) = − 10

(−2) • 5 = − 10

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna:

a • b

2 • (−5)

2. Asociativa:

(a • b) • c = a • (b • c)

(2 • 3) • (−5) = 2• [(3 • (−5)]

6 • (−5) = 2 • (−15)

-30 = -30

3. Conmutativa:

a • b = b • a

2 • (−5) = (−5) • 2

-10 = -10

4. Elemento neutro:

a •1 = a

(−5)• 1 = (−5)

5. Distributiva:

a • (b + c) = a • b + a • c

(−2)• (3 + 5) = (−2) • 3 + (−2) • 5

(−2)• 8 =- 6 - 10

-16 = -16

6. Sacar factor común:

a • b + a • c = a • (b + c)

(−2) • 3 + (−2) • 5 = (−2) • (3 + 5)

División de números enteros

La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

10 : 5 = 2

(−10) : (−5) = 2

10 : (−5) = − 2

(−10) : 5 = − 2

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna:

(−2) : 6

2. No es Conmutativo:

a : b ≠ b : a

6 : (−2) ≠ (−2) : 6

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

1. Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2. Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedades

a0 = 1 •

a1 = a

am • a n = am+n

(−2)5 •(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128

am : a n = am - n

(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 - 2 = (−2)3 = −8

(am)n = am • n

[(−2)3]2 = (−2)6 = 64

an • b n = (a • b) n

(−2)3 • (3)3 = (−6) 3 = −216

an : b n = (a : b) n

(−6)3 : 3 3 = (−2)3 = −8

Los números racionales

Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros, con denominador distinto de cero. Se representa por .

Representación de números racionales

Los números racionales se representan en la recta junto a los números enteros.

Para representar con precisión los números racionales:

1Tomamos un segmento de longitud la unidad, por ejemplo.

2Trazamos un segmento auxiliar desde el origen y lo dividimos en las partes que deseemos. En nuestro ejemplo, lo dividimos en 4 partes.

3Unimos el último punto del segmento auxiliar con el extremo del otro segmento y trazamos segmentos paralelos en cada uno de los puntos, obtenidos en la partición del segmento auxiliar.

En la práctica se utilizan número racional y fracción como sinónimos.

Operaciones con números racionales

Suma y resta de números racionales

Con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

Propiedades de la suma de números racionales

1. Interna:

a + b

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) •

3. Conmutativa:

a + b = b + a

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

5. Elemento opuesto

a + (−a) = 0

El opuesto del opuesto de un número es igual al mismo número.

...