MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Distribución de Poisson

Se usa en situaciones en los que el experimento da lugar a valores numéricos discretos de una variable aleatoria que ocurren durante un intervalo dado o una región específica. El intervalo puede ser cualquier lapso como minutos días, semanas, etc. y la región específica puede ser una línea, un área o quizá una pieza de material, un disco compacto o una cinta magnética.

El experimento que origina una variable aleatoria que sigue una distribución de Poisson se denomina proceso de Poisson y posee las siguientes propiedades:

El número de resultados que ocurren en un intervalo o región de espacio cualquiera es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo o región del espacio disjunto.

La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante el intervalo muy corto o región muy pequeña es proporcional a la longitud del intervalo o al tamaño de la región y no depende del número de resultados que ocurren fuera del intervalo o región.

La probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo corto o caiga en tal región pequeña es insignificante.

Se dice que la variable aleatoria X sigue una distribución de Poisson con parámetro λ y se denota X ~ P (λ)

La probabilidad de tener x resultados en un intervalo dado o en una región específica es:

P(X=x) =P(x, λ) =(e^(-λ).λ^x)/x!

donde:

X = número de éxitos por unidad.

λ = número esperado de éxitos por unidad de tiempo o región.

e = 2,71828…

Características:

Siempre es una distribución sesgada a la derecha. A medida que λ aumenta y se toma en cuenta sólo los valores relevantes de probabilidad, la distribución tiende a hacerse simétrica.

Media: μ x = E(x) = λ

Varianza: σ_x^2=λ

Ejemplo

En promedio, en cierta intersección ocurren tres accidentes de tránsito por mes. Calcule la probabilidad de que para cualquier mes dado en esa intersección:

a. Ocurran exactamente cinco accidentes.

b. Ocurran menos de tres accidentes.

c. Ocurran al menos dos accidentes.

d. Elabore la tabla de distribución de probabilidades y su respectiva gráfica.

Solución:

Sea X el número de accidentes que ocurren al mes en la intersección. Dado que es un acontecimiento discreto (número de accidentes) en un intervalo continuo (tiempo- un mes) usamos la distribución de Poisson con λ = 3.

a. P(x = 5) =(e^(-3).λ^5)/5! =0.10082

b. P(x < 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) = 0,42319

c. P(x ≥ 2) = 1 – P(x < 2) = 1 – ( P(x = 0) + P(x = 1) ) = 0,80085

d. La tabla de distribución de probabilidades es:

X P(x)

0 0.04979

1 0.14936

2 0.22404

3 0.22404

4 0.16803

5 0.10082

6 0.05041

7 0.02160

8 0.00810

9 0.00270

10 0.00081

11 0.00022

12 0.00006

Más de 12 0.00002

Ejemplo

Cierta marca de disco compacto grabable tiene una media de 1,5 puntos defectuosos por disco. Además, una norma de control de calidad considera como no aceptable un disco con una cantidad de puntos defectuosos mayor a 2.

a. ¿Qué porcentaje de la producción es aceptable?

b. Si se toman al azar dos discos del total de los producidos, ¿cuál es la

probabilidad de que al menos uno de ellos sea considerado aceptable?

Solución:

a. X: número de puntos defectuosos / disco:

X sigue una distribución Poisson con media λ = 1,5 puntos defectuosos / disco

P(aceptable) = P(x ≤ 2) = 0,8088. Por lo tanto, el porcentaje de la producción aceptable es 80,88%

b. P(al menos uno sea aceptable) = 1 – P(ninguno sea aceptable) = 1 –〖(1 – 0,8088)〗^2 = 0,9634

EJEMPLO:

En una caseta de control llegan aleatoriamente 180 autos por hora.calcular:

a.-La probabilidad de que un auto llegue durante un período de 3 minutos.

b.-Por lo menos dos autos lleguen durante un período dado de 3 minutos

SOLUCIÓN:

180 60min.

1-t 3min.

λ = 1.t=(180*3)/60 λ =9 autos

a.- p(x)=(e^(-9) 9^1)/1! = 9/e^9 = 9/〖2.71828〗^9 =0.0011

b.- p(x≥2)=1-p(x<2) entonces p(x≥2) = 1- [p(x=0)+p(x=1)]

p(x≥2)=1 - [(e^(-9) 9^0)/0!+(e^(-9) 9^1)/1!] = 1 - [1/e^9 +9/e^9 ] = (e^9-1-9)/e^9

p(x≥2)= (e^9-10)/e^9

EJEMPLO:

En Laredo se ha producido 4 apagones mensuales.Hallar la probabilidad de que en los próximos 5 meses no haya ningún apagón.

SOLUCIÓN:

1 mes 4 apagones

5meses 1t

1t=λ = (5meses.4apagones)/1mes = 20 apagones.

P(x=0)= (e^(-20) 〖20〗^0)/0! =1/e^20

USOS DE LA TABLA DE POISSON

Estas probabilidades están acumuladas de x=0 hasta X≤x;es decir de la forma:

P(X≤x) diferente a la binomial que es p(X≥x)

EJEMPLO:

En el estudio de cierta bacteria acuática,se tomaron gran número de muestras de un estanque y se contó el número de bacterias que había en cada muestra.Se encontró que el número promedio de bacterias por muestra era de 2.Suponiendo que el número de bacterias está distribuido según poisson,encontrar la probabilidad de que la siguiente muestra que se toma:

a.-Contenga una o más bacterias.

b.-Contenga exactamente 3 bacterias.

c.-Contenga menos de 5 bacterias.

SOLUCIÓN:

Sea x=número de bacterias de una muestra.

λ= número promedio de bacterias.

a.-Contenga una o más bacterias.

p(x≥1)=1- p(X< 1)=1- p(X≤0)

Buscamos en la TABLA

λ=2

X=0

Entonces observamos en la tabla la intersección de 2 y 0 :

Tenemos :

p(X≤0)=0.135 Entonces p(x≥1)=1-0.135=0.865

La probabilidad de que la muestra contenga 1 o más bacterias es de 86.5%

b.-Contenga exactamente 3 bacterias.

P(X=3)=p(X≤3)-p(X≤2)=0.857-0.677=0.180=18%

c.-Contenga menos de 5 bacterias.

P(X<5)=p(X≤4) =0.947=94.7%

La probabilidad que la muestra contenga menos de 5 bacterias es de 94.7%

APROXIMACIÓN DE POISSON A LA BINOMIAL

Sabemos que la distribución de Poisson tiene un interés independiente;sin embargo nos da una buena aproximación a la distribución binomial.

Esta aproximación es razonable solo en determinadas circunstancias,cuando n es grande y p es pequeño.Así,es recomendable usar una distribución de poisson en vez de una binomial cuando:

n≥ 20 y p≤ 0.05

EJEMPLO:

Supongamos que el 2%de los objetos fabricados en una empresa sean defectuosos.Calcule la probabilidad de que haya 3 objetos defectuosos en una muestra de 100 objetos.

SOLUCIÓN:

Se trata de una distribución binomial con p=0.02,n=100;pero como p es pequeño y n es grande se puede utilizar poisson donde:

X:Número de objetos defectuosos=3

λ=np λ=100(0.02)=2

Entonces: p(x)=(e^(-λ) λ^x)/x! =(e^(-2) 2^3)/3!=0.180

Por lo tanto,la probabilidad de que haya 3 defectuosos es del 18%.

EJEMPLO:

En proceso en el cual se producen piezas de vidrio,ocurren defectos o burbujas,ocasionando que la pieza no sea apta para la venta.se sabe que en promedio 1 de cada mil piezas tiene una o más burbujas¿Cuál es la probabilidadde que una muestra aleatoria de 8000 piezas,menos de 7 de ellas tengan burbujas?

SOLUCIÓN:

n=8000 p=0.001 (1de cada 1000=1/1000=0.001)

Es una binomial,pero p es pequeño y n es grande,aproximamos a la distribución de poisson.

Entonces:

λ=np =8000*0.001=8

Nos piden:

P(X<7 )=p(X≤6 ) buscamos en la tabla λ=8 y X=6

Entonces: p(X≤6 )=0.313

Por lo tanto la probabilidad de que menos de 7 piezas tengan burbujas es de 31.3%

...