Matematicas Integrales

Centro de estudios tecnológicos del mar núm. 19

Trabajo:

Matemáticas integrales

Alumno:

Daniel Torres Roman

Grado:

6to

Grupo:

“A” 

Centro de Estudio Tecnológico del Mar numero 19

Román Javier Ancona Hernández

Mecánica naval

Sexto semestre

Grupo “A”

Tercer parcial:

Integral indefinida

 Métodos de integración

 Inmediatas

 Integración: por parte, por sustitución, por fracciones parciales

Integral definida

 Suma d reimann

 Propiedades

 Notación

 Teorema fundamental del calculo

LA INTEGRAL DEFINIDA

Desde su origen, la noción de integral ha respondido a la necesidad de mejorar los métodos de medición de áreas subtendidas bajo líneas y superficies curvas. La técnica de integración se desarrolló sobre todo a partir del siglo XVII, paralelamente a los avances que tuvieron lugar en las teorías sobre derivadas y en el cálculo diferencial.

Concepto de integral definida

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.

La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

Propiedades de la integral definida

La integral definida cumple las siguientes propiedades:

Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero.

Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.

La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado.

La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral).

Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo.

Dados tres puntos tales que a < b < c, entonces se cumple que (integración a trozos):

Para todo punto x del intervalo [a,b] al que se aplican dos funciones f (x) y g (x) tales que f (x) £ g (x), se verifica que:

Ilustración gráfica del concepto de integral definida.

Teorema fundamental del cálculo integral

La relación entre derivada e integral definida queda establecida definitivamente por medio del denominado teorema fundamental del cálculo integral, que establece que, dada una función f (x), su función integral asociada F (x) cumple necesariamente que:

A partir del teorema fundamental del cálculo integral es posible definir un método para calcular la integral definida de una función f (x) en un intervalo [a, b], denominado regla de Barrow:

Se busca primero una función F (x) que verifique que F¿ (x) = f (x).

Se calcula el valor de esta función en los extremos del intervalo: F (a) y F (b).

El valor de la integral definida entre estos dos puntos vendrá entonces dado por:

Suma de Riemann

Cuatro de los métodos de suma de Riemann para aproximar el área bajo las curvas. Los métodos derecha e izquierda hacen la aproximación usando, respectivamente, los puntos finales derechos e izquierdos de cada subintervalo. Los métodos máximo y mínimo hacen la aproximación usando, respectivamente, los valores más grandes y más pequeños del punto final de cada subintervalo. Los valores de las sumas convergen a medida que los subintervalos parten desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha.

En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.

La suma de Riemann consiste en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de ellos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

Definición[editar]

Consideremos lo siguiente:

• una función

donde D es un subconjunto de los números reales

• I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.

• Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b

crean una partición de I

P = {[x0, x1), [x1, x2), ... [xn-1, xn]}

Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria.

Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda.

Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha.

Suma Trapezoidal

En este caso, el valor de la función f en un intervalo se aproxima por el promedio de los valores de los extremos a izquierda y derecha. De la manera ya descripta, un simple cálculo usando la fórmula del área

para un trapecio con lados paralelos b1, b2 y altura h produces

El error de esta fórmula será

donde es el valor máximo del valor absoluto de

La aproximación obtenida con la suma trapezoidal para una función es igual al promedio de las sumas izquierda y derecha de Riemann.

Método de Suma Trapezoidal de la función en el intervalo [0,2] usando cuatro subdivisiones

EJERCICIO FUNCIÓN CONTINUA SUMA DE RIEMANN

1.Déjenos calcular la suma de Riemann para la integral -11(x2+1) dx usando n = 5 subdivisiones.

Primero, para calcular las subdivisiones:

Δx = (b-a)/n = (1-(-1)/4 = 0.4.

x0 = a = -1

x1 = a + Δx = -1 + 0.4 = 0.6

x2 = a + 2Δx = -1 + 2(0.4) = 0.2

x3 = a + 3Δx = -1 + 3(0.4) = 0.2

x4 = a + 4Δx = -1 + 4(0.4) = 0.6

x5 = b = 1

La suma de Riemann que buscamos es

f(x0)Δx + f(x1)Δx + ... + f(x4)Δx

= [f(-1) + f(-0.6) + f(-0.2) + f(0.2) + f(0.6)]0.4

Podemos organizar esta calculación dentro de una tabla como sigue:

x -1 -0.6 -0.2 0.2 0.6 Total

f(x) = x2+1 2 1.36 1.04 1.04 1.36 6.8

la suma de Riemann es, entonces,

6.8Δx = 6.8x0.4 = 2.72.

Para obtener una buena aproximación de la integral, debemos utilizar un nùmero de subdivisiones mucho más grande que 5.

Terminología y notación

Si una función tiene una integral, se dice que es integrable. De la función de la cual se calcula la integral se dice que es el integrando. Se denomina dominio de integración a la región sobre la cual se integra la función. Si la integral no tiene un dominio de integración, se considera indefinida (la que tiene dominio se considera definida). En general, el integrando puede ser una función de más de una variable, y el dominio de integración puede ser un área, un volumen, una región de dimensión superior, o incluso un espacio abstracto que no tiene estructura geométrica en ningún sentido usual.

El caso más sencillo, la integral de una función real f de una variable real x sobre el intervalo [a, b], se escribe

El signo ∫, una "S" alargada, representa la integración; a y b son el límite inferior y el límite superior de la integración y definen el dominio de integración; f es el integrando, que se tiene que evaluar al variar x sobre el intervalo [a,b]; y dx puede tener diferentes interpretaciones dependiendo de la teoría que se emplee. Por ejemplo, puede verse simplemente como una indicación de que x es la variable de integración, como una representación de los pasos en la suma de Riemann, una medida (en la integración de Lebesgue y sus extensiones), un infinitesimal (en análisis no estándar) o como una cantidad matemática independiente: una forma diferencial. Los casos más complicados pueden variar la notación ligeramente.

Conceptos y aplicaciones

Aproximaciones a la integral de entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la derecha (abajo).

Las integrales aparecen en muchas situaciones prácticas. Considérese una piscina. Si es rectangular y de profundidad uniforme, entonces, a partir de su longitud, anchura y profundidad, se puede determinar fácilmente el volumen de agua que puede contener (para llenarla), el área de la superficie (para cubrirla), y la longitud de su borde (si se requiere saber su medida). Pero si es ovalada con un fondo redondeado, las cantidades anteriores no son sencillas de calcular. Una posibilidad es calcularlas mediante integrales.

Para el cálculo integral de áreas se sigue el siguiente razonamiento:

1. Por ejemplo, consideremos la curva mostrada en la figura de arriba, gráfica de la función , acotada entre y

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