Matematicas

PRIMERA UNIDAD: CONJUNTOS

• Idea intuitiva de un conjunto .

Se abordarán ejemplos para llegar al concepto de conjunto y su notación. Se definirá por extensión y por comprensión, estableciéndose la pertenencia y no pertenencia.

Es la totalidad de puntos, números u objetos que satisfacen una condición dada. Termino empleado alternativamente como clase, colección o agregado, es una colección, agrupación, asociación, reunión, unión de integrantes homogéneos o heterogéneos, de posibilidades reales o abstractas. Los integrantes pueden ser números, letras, días de la semana, alumnos, países, astros, continentes, etc. a estos integrantes en general, se les denomina "elementos del conjunto".

• Cardinalidad .

Se establecerá la cardinalidad de un conjunto como el número de elementos que lo componen.

La cardinalidada de un conjunto se representa con el símbolo ( # ) y corresponde al número de elementos que se tiene en el conjunto.

EJEMPLO: W = { $, %, &, /, ª } El conjunto W está integrado por 5 elementos, por lo tanto, su cardinalidad es 5 ( # = 5 )

Q = El conjunto Q está formado por 3 elementos

# Q = 3

K = El conjunto K tiene un elemento

# K= 1

Se establecerá la cardinalidad de un conjunto como el número de elementos que lo componen.

• Conjuntos:

Universal, Vacío, Iguales, Equivalentes, Ajenos . Se definirá: el conjunto universal, el conjunto vacío, cuándo los conjuntos son iguales, equivalentes y ajenos. Cuándo un conjunto es subconjunto de otro. A partir de propiedades comunes entre elementos, formará subconjuntos.

 Universal: es el conjunto de todos los elementos en discusión. También se le llama dominio de discusión o referencial.

El conjunto universal se designa con el símbolo 1.

Ejemplos

1. En geometría plana el conjunto universal es el de todos los puntos del plano.

2. En los estudios de población humana el conjunto universal estará formado por todos los seres humanos del mundo.

 Vacío: Es el conjunto que carece de elementos. Este conjunto se denotará por 0. Un conjunto vacío se puede definir mediante una propiedad que sea contradictoria, por ejemplo:

Sea A = {x / x2 = 4  x es impar}.

 Iguales: Son todos aquellos conjuntos que tienen elementos iguales. Los elementos de un conjunto también pertenecen al mismo conjunto.

Ejemplo:

D F D = F

Los conjuntos D y F son iguales porque tienen el mismo elemento. A veces pueden estar desordenados los elementos cuando son más de uno, en tal caso, debe recordarse que en un conjunto no importa el orden en que estén los elementos.

 Equivalentes: Un conjunto equivalente son dos conjuntos de elementos sin ordenar que tienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo, los siguientes dos conjuntos son equivalentes: Conjunto a: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Conjunto b: {11, 17, 22, 21, 8, 3, 5}

Son aquellos que tienen igual cardinalidad, es decir, igual número de elementos.

T = { , , } # T = 3

P = { a, b, c } # P = 3

Los conjuntos T y P son equivalentes porque tienen la misma cardinalidad.

 Ajenos: Se definirá: el conjunto universal, el conjunto vacío, cuándo los conjuntos son iguales, equivalentes y ajenos. Cuándo un conjunto es subconjunto de otro. A partir de propiedades comunes entre elementos, formará subconjuntos.

• Operaciones.

Diagrama de Venn-Euler . Se establecerán las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento entre conjuntos y se considerarán diagramas de Venn-Euler para representarlas.

Diagrama de Venn Euler

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos.

Ejemplos:

Tipos de diagramas de Venn

• Diagrama de dos conjuntos: Puede definirse como la relación entre dos conjuntos, el área que comparten A y B es llamada unión de A y B y en esta podemos decir qué, se comparten las características de A y de B.

Ejemplo: A= Ser vivo con ojos B= Ser vivo con cabello Unión= Ser vivo con ojos y cabello

En este caso A tiene algunas características especiales y B otras diferentes, la unión entre ellas (parte sombreada9 es la combinación de estas características.

• Diagramas de tres conjuntos: Definen 7 áreas diferentes, por lo tanto son más combinaciones de características como se muestra a continuación:

Hacer un diagrama de más de tres conjuntos es muy difícil de realizar así como de analizar.

Operaciones con conjuntos

UNIÓN: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen

a A o a B o a ambos., y se representa por

A ∪ B

A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} .

Ejemplo: Sean los conjuntos y se representa

gráficamente por el diagrama de Venn

INTERSECCIÓN: La intersección de dos conjuntos A y B ( A ∩ B ) es el conjunto de todos los

elementos comunes a A y a B al mismo tiempo.

A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}

Ejemplo: Si tomamos los mismos conjuntos

A = { 1, 2, 3, 4 } y B = {3, 4, 5, 6} entonces la Intersección

de A y B es A ∩ B = { 3, 4 } y se representa gráficamente

mediante el diagrama de Venn

DIFERENCIA: La diferencia entre los conjuntos A y B ( A – B ) o ( A \ B ) es el conjunto de todos

los elementos que pertenecen a A pero no pertenecen a B

A − B = A \ B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B}

Ejemplo: Utilizando los conjuntos A = { 1, 2, 3, 4 } y B = {3, 4, 5, 6}

entonces la diferencia de A y B es A - B = { 1, 2 } y se representa

gráficamente mediante el diagrama de Venn

COMPLEMENTO: El complemento de un conjunto A es el conjunto

de todos los elementos que no pertenecen a A , pero sí pertenecen a l Universo. En otras palabras

es la diferencia entre el conjunto Universo y el conjunto A.

Se representa por A’ = A c y es igual a U – A

• Producto cartesiano de dos conjuntos. Plano cartesiano

El producto cartesiano de dos conjuntos (A y B) es el conjunto de todos los posibles pares ordenados que se forman eligiendo como primer componente a un elemento que pertenezca a (a) y como segundo componente a un elemento que pertenezca a (B)

el producto cartesiano se denota de la siguiente forma:

A x B y se lee "A cruz B"

Plano cartesiano: está formado por dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vretical que se cortan en un punto

la recta horizontal es llamada eje de las basicas o de las (x)

la recta vertical es llamada eje de las ordenadas o (y)

el punto donde se cortan recibe el nombre de origen

el plano carteciano tiene como finalidad describir la posicion de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados .

• Gráfica de un producto cartesiano

Para entender la idea de producto cartesiano debemos saber que se trata de una operación entre dos conjuntos, de tal modo que se forma otro conjunto con todos los pares ordenados posibles.

Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}

Los elementos de A x B son pares ordenados. Cada par que se forma con un elemento del conjunto A y uno del conjunto B, en ese orden, recibe el nombre de par ordenado. Sus elementos se colocan entre paréntesis, separados por coma.

Entonces:

El poducto cartesiano de dos conjuntos cualesquiera A y B, será un nuevo conjunto, identificado como A x B, y consistirá de un conjunto de parejas ordenadas, (x, y), donde x pertenece al conjunto A e y pertenece al conjunto B.

Como ejemplo:

También podríamos decir que un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como (a, b), donde a es el "primer elemento" y b el "segundo elemento".

El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.

Representación gráfica de un producto cartesiano

Los pares ordenados representarán puntos coordenado en el plano cartesiano, tomando como primera coordenada un elemento del primer conjunto, y como segunda coordenada a un elemento del segundo conjunto, independientemente que sean números u otras entidades.

Los pares ordenados representaran puntos coordenado en el plano cartesiano, tomando como primera coordenada a un elemento del segundo

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