Matematicas

PRIMERA UNIDAD: CONJUNTOS

• Idea intuitiva de un conjunto .

Se abordarán ejemplos para llegar al concepto de conjunto y su notación. Se definirá por extensión y por comprensión, estableciéndose la pertenencia y no pertenencia.

Es la totalidad de puntos, números u objetos que satisfacen una condición dada. Termino empleado alternativamente como clase, colección o agregado, es una colección, agrupación, asociación, reunión, unión de integrantes homogéneos o heterogéneos, de posibilidades reales o abstractas. Los integrantes pueden ser números, letras, días de la semana, alumnos, países, astros, continentes, etc. a estos integrantes en general, se les denomina "elementos del conjunto".

• Cardinalidad .

Se establecerá la cardinalidad de un conjunto como el número de elementos que lo componen.

La cardinalidada de un conjunto se representa con el símbolo ( # ) y corresponde al número de elementos que se tiene en el conjunto.

EJEMPLO: W = { $, %, &, /, ª } El conjunto W está integrado por 5 elementos, por lo tanto, su cardinalidad es 5 ( # = 5 )

Q = El conjunto Q está formado por 3 elementos

# Q = 3

K = El conjunto K tiene un elemento

# K= 1

Se establecerá la cardinalidad de un conjunto como el número de elementos que lo componen.

• Conjuntos:

Universal, Vacío, Iguales, Equivalentes, Ajenos . Se definirá: el conjunto universal, el conjunto vacío, cuándo los conjuntos son iguales, equivalentes y ajenos. Cuándo un conjunto es subconjunto de otro. A partir de propiedades comunes entre elementos, formará subconjuntos.

 Universal: es el conjunto de todos los elementos en discusión. También se le llama dominio de discusión o referencial.

El conjunto universal se designa con el símbolo 1.

Ejemplos

1. En geometría plana el conjunto universal es el de todos los puntos del plano.

2. En los estudios de población humana el conjunto universal estará formado por todos los seres humanos del mundo.

 Vacío: Es el conjunto que carece de elementos. Este conjunto se denotará por 0. Un conjunto vacío se puede definir mediante una propiedad que sea contradictoria, por ejemplo:

Sea A = {x / x2 = 4  x es impar}.

 Iguales: Son todos aquellos conjuntos que tienen elementos iguales. Los elementos de un conjunto también pertenecen al mismo conjunto.

Ejemplo:

D F D = F

Los conjuntos D y F son iguales porque tienen el mismo elemento. A veces pueden estar desordenados los elementos cuando son más de uno, en tal caso, debe recordarse que en un conjunto no importa el orden en que estén los elementos.

 Equivalentes: Un conjunto equivalente son dos conjuntos de elementos sin ordenar que tienen la misma cantidad de elementos. Por ejemplo, los siguientes dos conjuntos son equivalentes: Conjunto a: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Conjunto b: {11, 17, 22, 21, 8, 3, 5}

Son aquellos que tienen igual cardinalidad, es decir, igual número de elementos.

T = { , , } # T = 3

P = { a, b, c } # P = 3

Los conjuntos T y P son equivalentes porque tienen la misma cardinalidad.

 Ajenos: Se definirá: el conjunto universal, el conjunto vacío, cuándo los conjuntos son iguales, equivalentes y ajenos. Cuándo un conjunto es subconjunto de otro. A partir de propiedades comunes entre elementos, formará subconjuntos.

• Operaciones.

Diagrama de Venn-Euler . Se establecerán las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento entre conjuntos y se considerarán diagramas de Venn-Euler para representarlas.

Diagrama de Venn Euler

Los diagramas de Venn son ilustraciones usadas en la rama de la Matemática y Lógica de clases conocida como teoría de conjuntos. Estos diagramas se usan para mostrar gráficamente la agrupación de cosas elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo. La posición relativa en el plano de tales círculos muestra la relación entre los conjuntos.

Ejemplos:

Tipos de diagramas de Venn

• Diagrama de dos conjuntos: Puede definirse como la relación entre dos conjuntos, el área que comparten A y B es llamada unión de A y B y en esta podemos decir qué, se comparten las características de A y de B.

Ejemplo: A= Ser vivo con ojos B= Ser vivo con cabello Unión= Ser vivo con ojos y cabello

En este caso A tiene algunas características especiales y B otras diferentes, la unión entre ellas (parte sombreada9 es la combinación de estas características.

• Diagramas de tres conjuntos: Definen 7 áreas diferentes, por lo tanto son más combinaciones de características como se muestra a continuación:

Hacer un diagrama de más de tres conjuntos es muy difícil de realizar así como de analizar.

Operaciones con conjuntos

UNIÓN: La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen

a A o a B o a ambos., y se representa por

A ∪ B

A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B} .

Ejemplo:

...