Matematicas

Ecuación de un plano.

Se dice que un vector v está en un plano , si aplicado a un punto P en el plano, el punto final Q del vector v también pertenece al plano. Para ilustrar la situación, mostramos en la siguiente figura un plano  y dos vectores; un vector u en el plano y otro v que no está en el plano.

Se entiende que dados dos puntos en un plano, si un vector tiene sus puntos inicial y final en estos puntos, entonces este vector pertenece al plano

Entre los vectores que no están en el plano queremos destacar un tipo: el vector normal a un plano. Un vector no nulo se dice normal al plano, si éste es ortogonal a todo vector que pertenece al plano. En la siguiente figura los vectores n, n’ y n’’ son normales al plano , mientras que los vectores u, v y w pertenecen al plano.

Si se tiene un vector n = (a, b, c) normal a un plano  y un punto P = (p1, p2, p3) en el plano , se puede escribir una ecuación que es satisfecha por todos los puntos del plano y sólo por éstos, pues para todo punto X = (x, y, z) del plano, el vector

= (x – p1, y – p2, z – p3) es ortogonal al vector n, es decir n  = 0, lo cual se traduce en a(x – p1) + b(y – p2) + c(z – p3) = 0 o ax + by + cz = ap1 + bp2 + cp3. La última expresión, que rescribimos aunque redundemos: ax + by + cz = k, en donde a, b, c, k  IR, es la ecuación general de un plano.

Ejemplos:

i) La ecuación del plano cuyo vector normal es n = (1, -1, 3) y que pasa por el punto P = (1, 2, 3) es, según lo explicado anteriormente; x – y + 3z = 8. Además del punto P = (1, 2, 3), los puntos (8, 0, 0), (0, -8, 0) y (2, 3, 1), entre otros, también pertenecen al plano.

ii) Un vector normal al plano de ecuación 5x + 2y –3z = 0 es n = (5, 2, -3) y tres puntos que pertenecen a este plano son: (0, 0, 0), (1, -1, 1) y (0, 3, 2), pues sus coordenadas satisfacen la ecuación 5x + 2y –3z = 0. Observe que los planos que tienen ecuación ax + by + cz = 0 pasan por el punto (0, 0, 0).

Uno de los más conocidos axiomas de la Geometría Euclidiana es el que dice que “Por tres puntos no alineados pasa un único plano”. Es natural preguntarse cómo escribir la ecuación de un plano, conocidos tres de sus puntos que no están en una misma recta.

Si P = (p1, p2, p3), Q = (q1, q2, q3) y R = (r1, r2, r3) son tres puntos no alineados de un plano , los vectores u = = (p1 – q1, p2 – q2, p3 – q3) y

v = = (r1 – q1, r2 – q2, r3 – q3) son dos vectores del plano, de donde su producto vectorial u  v es un vector normal al plano y para todo punto X = (x, y, z) del plano, el vector con punto inicial en Q y final en X, vector que llamamos

x = = (x – q1, y – q2, z – q3), está en el plano, de donde debe ser ortogonal al vector normal n = u  v y la ecuación de este plano resulta ser: x  (u  v) = 0. Ahora bien, según el problema 7 del problemario 6 el producto mixto x  (u  v) está dado por el determinante de la matriz cuyas filas son x, u y v, de donde la ecuación del plano es:

= 0

iii) La ecuación del plano que pasa por los puntos P = (1, 1, 1),

Q = (1, 1, -1) y R = (1, -1, 1) es:

= 0, es decir = 0,

= 0, la cual, desarrollando por la primera columna, queda:

4(x - 1) = 0 o 4x = 4, que también puede escribirse como x = 1, ecuación

satisfecha por los tres puntos P, Q y R.

Intersección de planos.

Dos planos diferentes se intersectan en una recta si no son paralelos y no se intersectan si son paralelos.

Dos planos no paralelos  y ’ que se intersectan en la recta r:

Dos planos paralelos (no se intersectan):

Una tercera posibilidad que el estudiante puede encontrar, es la de dos ecuaciones diferentes que aparentemente representan dos planos, pero que en realidad correspo9nden al mismo plano, por ejemplo; las ecuaciones x + y + z = 1 y

2x + 2y + 2z = 2 representan el mismo plano. Vamos a analizar primero

...