Matematicas

CONTINUIDAD:

La idea intuitiva de función continua en un punto es bien sencilla.

Una función continua en un punto es aquella que no “da saltos”, aquella que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Matemáticamente la definición de una función continua es un poco mas compleja.

Dice así:

Una función f(x) es continua en un punto x = a si:

Dado > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x−a| < δ, entonces |f(x)−f(a)| <

Dicho de otra forma, si nos acercamos al punto a, entonces las imágenes se acercan a la imagen de a, f(a).

Si f(x) no es continua en x = a se dice que f(x) es discontinua en a o que tiene una discontinuidad en x = a.

Propiedad: Para que una función sea continúa en un punto a es necesario y suficiente que:

a) Exista el valor de la función en el punto, f(a).

b) Existan los límites laterales, lım x→a+ f(x) y lım x→a− f(x), y sean infitos e iguales entre sı e iguales a f(a), es decir:

Lım x→a+ f(x) = lım x→a− f(x) = f(a)

Esta última propiedad proporciona una forma muy sencilla de saber si una función es continua o no en un punto.

Ejemplo: Estudiar la continuidad de la función:

f(x) = 2x+ 1 si x > 2

1

x si x ≤ 2

En primer lugar, señalemos que la mayoría de las funciones que estudiamos son continuas en todos los puntos salvo en algunos.

¿Cuales son los posibles puntos de discontinuidad de una función?

Aquellos en los que no está definida la función (anulan el denominador, etc...) y aquellos en los que cambia la definición de la función.

En todos los demás puntos las funciones son siempre continuas y no hace falta analizarlos.

En nuestro caso, si nos fijamos en f(x) encontramos 2 posibles puntos de discontinuidad.

El primero es aquel en el que cambia la definición de la función, x =2. Además, como hay un denominador, que se anula para x =0, y además estamos en el tramo de función para valores menores que 2, el punto x =0 es otro posible punto de discontinuidad.

Analicemos si la función es continua o no en esos puntos.

Continuidad en x =2: f (2) = 1

2 pues debemos sustituir en la parte inferior de f(x), que es donde est´a el igual.

Límites laterales:

Lım x→2− f(x) = lım x→2 1 x = 1 2

Por otra parte:

Lım x→2+ f(x) = lım x→2 2x+1=5

Como los límites laterales existen pero son diferentes, concluimos que f(x) es discontinua en x =2.

Continuidad en x =0: f(0) = quedaría un cero en el denominador.

Con esto ya sabemos que la función no puede ser continua en x =0. De todos modos calculamos los límites laterales.

Observemos que cuando nos acercamos a 0, da igual por la derecha que por la izquierda, estamos siempre en la parte inferior de la función, luego:

Lım x→0− f(x) = lım x→0−1 x = 1 0− = −∞

Por otra parte:

Lım x→0+ f(x) = lım x→0+1 x = 1 0+ = +∞

Y f(x) también es discontinua en x =0.

Por tanto f(x) es continua en todos los números reales salvo en x =0y x =2.

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