Matematicas

4.2.3 RADIO DE CONVERGENCIA

Se llama radio de convergencia de la serie al número (real o finito) que se obtiene por cualquiera de los siguientes límites:

Con el convenio de que 1/0=∞.

Convergencia de la serie de potencia

Si R es el radio de convergencia de la serie , entonces:

La serie converge puntalmente si , es decir ene el intervalo abierto .

La serie diverge si es decir en (-∞,x0-r) u (x0+r,∞).

En , es decir en x= ±r la serie puede ser convergente o divergente (hay que estudiarlos en cada caso

La serie converge uniformemente en cualquier intervalo cerrado 7 acotado .

Campo de convergencia

Se llama campo de convergencia de la serie al conjunto dende converge puntualmente, si R es el radio de convergencia, el campo de convergencia puedes ser

Si nos limitamos al conjunto de los números reales, una serie de la forma , con , recibe el nombre de serie de potencias centrada en x0. La serie converge absolutamente para un conjunto de valores de x que verifica que | x − x0 | < r, donde r es un número real llamado radio de convergencia de la serie. Esta converge, pues, al menos, para los valores de x pertenecientes al intervalo (x0 − r, x0 + r), ya que la convergencia para los extremos de este ha de estudiarse aparte, por lo que el intervalo real de convergencia puede ser también semiabierto o cerrado. Si la serie converge solo para x0, r = 0. Si lo hace para cualquier valor de x, r =

Para una serie de energía f definido como:

Donde:

a es una constante, el centro del disco de la convergencia,

cn es nth complejo coeficiente, y

z es una variable.

El radio de convergencia r es un número verdadero no negativo o, tales que converge la serie si y diverge si.

Es decir la serie converge si z está bastante cercana al centro y diverge si es demasiado lejano. El radio de convergencia especifica cómo está cercano está bastante cercano. El radio de convergencia es infinito si la serie converge para todos números complejos z.

Encontrar el radio de convergencia

El radio de convergencia puede ser encontrado aplicándose prueba de la raíz a los términos de la serie. La prueba de la raíz utiliza el número donde ƒn es n término del th cn(z − a)n (el “sup del lim” denota superior del límite). La prueba de la raíz indica que converge la serie si |C| < 1 y diverge si |C| > 1. Sigue que converge la serie de energía si la distancia de z al centro a es menos que y diverge si la distancia excede ese número. Observe eso r = 1/0 se interpreta como radio infinito, significando que el ƒ es función entera.

El límite implicado en prueba del cociente es generalmente más fácil de computar, pero el límite puede no poder existir, en este caso se utiliza la prueba de la raíz. La prueba del cociente utiliza el límite

En el caso de una serie de energía, esto se puede utilizar para encontrar eso.

Ejemplos

Mostraremos el radio de convergencia de algunos desarrollos en series de potencias con sus respectivos radios de convergencia sin justificar porqué el radio de convergencia es el dado.

Radio de convergencia finito

La función 1 / (1 − x) en su desarrollo con centro 0, o sea, en series de potencia x − x0 = x − 0 = x, tiene el siguiente aspecto:

.

(Para el cálculo de la serie vea serie de Taylor). Su radio de convergencia es r = 1. Eso significa que para calcular si tomo cualquier valor cuya distancia al x0 = 0 es menor que r = 1, por ejemplo el x = 0.25, entonces al remplazarlo en la serie el resultado de calcular la serie será el mismo que remplazarlo en la función, de hecho

.

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