Matematicas

INTRODUCCION

Las parábolas aparecen en diferentes situaciones de la vida cotidiana. Se puede apreciar claramente cuando lanzamos un balón bombeado o golpeamos una pelota de tenis. En la curva que describe la pelota en su movimiento se puede ver que se trata de una trayectoria parabólica. Al dibujar este desplazamiento, podemos considerar esta parábola como la representación gráfica de una función que asigna a cada desplazamiento horizontal `x' la altura `y' alcanzada por la pelota.

Una vez situada la parábola en este marco, que es un sistema de coordenadas cartesianas, son visibles dos propiedades fundamentales: tiene un punto extremo, que corresponde al instante en el que la pelota alcanza la altura máxima. Este punto es el vértice de la parábola; y la segunda, en la que las alturas a las que llega la pelota son las mismas en posiciones horizontales equidistantes de la abcisa del vértice. Por tanto, la recta paralela al eje de ordenadas que pasa por el vértice es el eje de simetría de la parábola.

En terminos generales, se podría definir la parábola como la sección cónica -al igual que la elipse y la hipérbola- que se obtiene al cortar la superficie cónica con un plano paralelo a una generatriz. Es una curva que se construye por la relación que existe entre sus puntos, un punto fijo llamado foco -'F'- y una recta llamada directriz -'d'-. La recta que pasa por `F' y es perpendicular a la directriz es el eje de la parábola y su eje de simetría. El punto de corte de la parábola con su eje es el vértice.

La parábola es una de las curvas cónicas más utilizadas en la tecnología actual. Un ejemplo son las antenas parabólicas que sirven para captar las señales de televisión emitidas por un satélite. Con ella podemos ver emisoras de televisión de todas partes del mundo. Del mismo modo, la parábola también se emplea para fabricar los faros de los coches.

PARÁBOLAS

Name=1; HotwordStyle=BookDefault; Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p).

Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz.

Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.

Para simplificar la parábola, se supondrá que el vértice es el origen de coordenadas y que el foco se encuentra en el semieje positivo de abscisas.

Ecuación canónica de la parábola

La ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el

y = 2px

Demostración:

Name=2; HotwordStyle=BookDefault;

La condición para que el punto esté en la parábola es que ambas coincidan:

Name=3; HotwordStyle=BookDefault;

Elevando al cuadrado:

-px + y2 = px ð y2 = 2px

Hay otros tres casos elementales de parábolas:

Name=3; HotwordStyle=BookDefault;

ð Si el eje es horizontal y el foco está en el semieje negativo de abscisas, la ecuación es y2 = -2px.

ð Si el eje es vertical y el foco está en el semieje positivo de ordenadas, la ecuación es x2 = 2py.

ð Si el eje es vertical y el foco está en el semieje negativo de ordenadas, la ecuación es x2 = -2py.

Parábola con vértice en un punto cualquiera

Si el vértice de una parábola se encuentra en un punto (x0, y0) su ecuación será, según los casos:

Name=4; HotwordStyle=BookDefault;

ð Eje horizontal y foco a la derecha: (y-y0)2 = 2p(x-x0)

ð Eje horizontal y foco a la izquierda: (y-y0)2 = -2p(x-x0)

ð Eje vertical y foco por encima: (x-x0)2 = 2p(y-y0)

ð Eje vertical y foco por debajo: (x-x0)2 = -2p(y-y0)

Reducción de la ecuación de una parábola

Dada una ecuación del tipo Ax2 + Bx + Cy + D = 0 o del tipo Ay2 + Bx + Cy + D = 0, siempre es posible reducirla a la ecuación de una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro.

Ejercicio: ecuaciones de parábolas

ð Hallar la ecuación reducida de la parábola 2x2 + 8x + 3y - 5 = 0. Hallar su vértice, su foco y su directriz.

ð Se ha de transformar esta ecuación en una de la forma:

Name=5; HotwordStyle=BookDefault;

(y - y0)2 = ± 2p(x - x0) ó (x - x0)2 = ± 2p(y - y0)

ð La ecuación dada tiene un término en x2. Habrá que transformarla, pues, en una del tipo (x - x0)2 = ± 2p(y - y0)

ð 2x2 + 8x + 3y - 5 = 0 ð 2x2 + 8x = -3y + 5 ð

x2 + 3x = (x + 2)2 - 4. Se sustituye en la ecuación:

ð Se trata de una parábola con el eje vertical y el foco por debajo del vértice.

ð Para hallar el foco se le resta la mitad del parámetro a la ordenada del vértice:

ð Por ser el eje vertical, la directriz es horizontal, y su ordenada se obtiene sumándole la mitad

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