Matematicas

El conjunto de los números reales ( ℝ )

El conjunto de los números reales se forma mediante la unión del conjunto de los números

Racionales y el conjunto de los números irracionales.

ℝ ℚ= ∪I Números reales:

Se representan con la letra R.

El conjunto de los Números Reales (R) está integrado por:

• El conjunto de los Números Racionales (Q) que corresponden a la unión de todos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica o infinita semiperiódica.

• El conjunto de los números enteros, positivos y negativos, más el cero

• El conjunto de los Números Irracionales (I) que está formado por la unión de todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.

Entonces, se llaman Números Reales a todos aquellos que se pueden expresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los Números Reales (R) está formado por los elementos del conjunto R unido con I .

El siguiente cuadro es ilustrativo:

Todos los números reales pueden ser representados en la recta numérica.

A cada punto de la recta numérica le corresponde un número real y viceversa; es decir, existe una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta numérica y los números reales.

Importante:

Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas con dos excepciones importantes:

1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, razón por la cual existe el conjunto de los números complejos donde estas operaciones sí están definidas.

2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nada o entre nadie; es decir, no existe la operación de dividir entre nada.

En otras palabras, no son reales las fracciones con denominador cero y las raíces de índice par y radicando negativo.

Infinito no es un número real

Infinito no es un número real, es una idea. Una idea de algo que no termina.

El conjunto de los números reales tiene un determinado número de subconjuntos con propiedades específicas y cuyo estudio es de gran importancia para la Matemática: el conjunto de los números naturales; el conjunto de los números enteros; el conjunto de los números racionales, y el conjunto de los números irracionales.

El conjunto de los números naturales

Se denota ∠, y se expresa así:

∠ = {1, 2, 3, …}.

La adición y la multiplicación conservan en ∠ algunas de las propiedades de campo, mas no todas:

• ∠ es cerrado bajo la adición y la multiplicación.

• ∠ no contiene el módulo para la adición (el cero), aunque si el de la multiplicación (el uno).

• ∠ no conserva las propiedades invertivas: 2, por ejemplo no tiene en ∠ inverso

aditivo, ni inverso multiplicativo.

• La ecuación x + a = b no siempre tiene solución en ∠: x + 5 = 8 tiene como

solución el natural 3; pero x + 8 = 5 carece de solución en ∠.

• ∠ tiene la propiedad del buen orden: Cada subconjunto no vacío de ∠ tiene un

elemento mínimo.

El conjunto de los enteros negativos

Se denota -9, y está formado por los inversos aditivos de los números naturales.

-9= {x ∈ 3: – x ∈ ∠}

-9 = {…, – 3, – 2, – 1}

El conjunto de los números enteros

Se denota 9 y está formado por el cero (0), los naturales y los enteros negativos.

9 = ∠ ∪ {0} ∪ 9–

9 = {…, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, …}

El conjunto de los números racionales

...