Matematicas

LIMITES ITERADOS

Sea una función real de dos variables y Llamaremos límites iterados de f en el punto (a, b) a los siguientes límites

En primer lugar fijamos la variable Y (con valores próximos pero distintos a,b) y hacemos que la variable x se aproxime al punto a. Si este límite existe para todo valor de Y posible (pero considerando y constante) entonces a la expresión dependiente de Y resultante tenemos que hacerle el límite cuando y tiende hacia b.

Los límites iterados no tienen por qué existir. De hecho hay ejemplos en los que no existe ninguno o existe sólo uno de los dos. Incluso aunque existan ambos no tienen por qué coincidir. Además la existencia de éstos no está determinada completamente por la existencia del límite ni viceversa. A este

Respecto lo que sí podemos decir es lo siguiente:

Supongamos que existe y es finito. Entonces si existe alguno de los o iterados con valor finito coincide con el límite L. Lo que estamos diciendo es que si existen (con valor finito) L y L1 entonces L = L1; si existen (con valor finito) L y L2 entonces L = L2; y si existen (con valor finito) L, L1 y L2 entonces L = L1 = L2.

Esto nos proporciona el siguiente criterio que nos da una situación en la que el límite no existe.

Sí los límites iterados existen con valor finito y no coinciden entonces no puede existir el límite. Si existe alguno de los límites iterados con valor finito y no coincide con el límite a través de algún subconjunto, entonces tampoco existe el límite

EJEMPLOS

Sea Entonces los límites iterados valen

Y

Entonces no puede

Existir

2. Sea Entonces para los límites iterados se cumple que

(Puesto que no existe ) y

(Puesto que porque estamos realizando el límite del producto de una cantidad que tiende a cero, x, y otra que está acotada. Ahora bien, el límite

Sí existe y vale 0, ya que es el producto de una función que tiende a cero por otra que está acotada.

LIMITES RADIALES

Sea Llamaremos limites radiales a los limites extendidos a lo

Largo del haz de rectas que pasan por el punto Los límites radiales no dejan de ser otra opción de trayectoria más, lo que ocurre es que de una tacada hacemos infinitas de ellas a la vez puesto que el haz mencionado es:

Limite nos permite, al calcularlo, ver si el resultado depende de m, es decir de las rectas del haz. No olvidemos que para cada m se obtiene una de las rectas del haz.

Ojo: En el haz cuya ecuación escribimos arriba, m es un número real y por lo tanto finito, consecuentemente para cada valor real dará lugar a una recta distinta, pero no olvidemos que la recta también es del haz y solo la obtendremos si m vale infinito.

LIMITES DE COORDENADAS POLARES

Las coordenadas polares permiten identificar un punto de coordenadas (x,y) del plano mediante otro par de números (r,θ), definidos mediante estas relaciones

La geometría de las coordenadas polares se ilustra en esta figura:

De modo que, como se ve, r representa la distancia del punto (x,y) al origen. Por esa razón, si r tiende a 0 el punto de coordenadas (r,θ) se aproxima al origen. Esa es la idea que nos lleva a proponer el siguiente método para analizar un límite en el origen. Para estudiar la existencia del Límite

Efectuamos el cambio a coordenadas polares y obtenemos una nueva función

Analizamos el lımite Lo interesante de esta idea es que de nuevo nos permite analizar el lımite de dos variables mediante un lımite en una sola variable.

Tenemos un primer resultado que, de nuevo, nos va a servir solo para asegurar que algunos lımites no existen.

Si el límite no existe o depende de θ, podemos asegurar que f no tiene límite en (0,0).

La dificultad en el uso de las coordenadas polares estriba en que la recıproca no es cierta: aunque ese límite no dependa de θ, todavía puede ocurrir que el límite no exista.

Ejemplo:

Sea definida por

Cambiando a coordenadas polares, se tiene:

Con lo que vemos que para cada valor fijo del Angulo θ:

Por tanto el límite en polares vale 0, independientemente del valor del ángulo θ. Podríamos pensar al llegar a esta conclusión que el límite vale cero. Sin embargo, si observamos la expresión que se ha obtenido:

Nos daremos cuenta de que para valores del Angulo θ cercanos a 0, esta expresión no está acotada.

De hecho si consideramos la curva cuya ecuación en polares es r = θ que se ilustra en esta figura:

Vemos que cuando nos acercamos a (0,0) a lo largo de esa curva es:

Lo cual contradice nuestra anterior conjetura de que el límite era 0 y, de hecho, demuestra que el límite no existe.

A la vista de ejemplos como este es natural pensar que las coordenadas polares sirven solo para demostrar que un límite no existe, pero no para establecer su existencia. Existe sin embargo un caso importante en el que es posible

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