Matriz de transición

Practica dirigida

Problemas:

1. Para la siguiente matriz de transición, calcule la probabilidad de encontrarse en el estado A después de tres periodos para un estado inicial de .

A B

A 0.3 0.7

B 0.5 0.5

2. Para la matriz de transición del problema 1, calcule las probabilidades del estado estacionario para los estados A y B

3. Para la siguiente matriz de transición, calcule:

 las probabilidades de encontrarse en los estados X, Y o Z, después de dos periodos, si el estado inicial fue (0.3 0.4 0.3).

 Si actualmente la variable esta en el valor X cual será la probabilidad que tres periodos después la variable tome el valor de Y.

 Si el valor de la variable es Y cuantos periodos tienen que pasar en promedio para volver estar en el estado Y por primera vez.

 Si actualmente la variable se encuentra en el estado X cuantos periodos tienen que pasar en promedio para pasar al estado Y por primera vez.

X Y Z

X 0.2 0.2 0.6

Y 0.8 0.1 0.1

Z 0.7 0 0.3

4. La Avertz Company renta su flotilla de 500 automóviles. Se inspecciona cada automóvil una vez a la semana. Durante este tiempo, pudo haber estado rentado, puede habérsele dado mantenimiento, o pueden haber sucedido ambas cosas. En la primera semana de junio, se determino que 400 automóviles estaban en condiciones de ser rentados, 80 necesitaban reparaciones menores y 20 necesitaban reparaciones mayores. En la segunda semana de junio 350 de los automóviles que estaban en buenas condiciones se encontraban en la misma circunstancia, 40 necesitaban reparaciones menores y 10 necesitaban reparaciones mayores. De los 80 automóviles que necesitaban reparaciones menores, 50 se encontraban en buenas condiciones, 25 seguían requiriendo reparaciones menores y otros 5 requerían ahora reparaciones mayores. Por último, de los 20 automóviles que requerían reparaciones mayores, 15 estaban en buenas condiciones, 3 requerían reparaciones menores y 2 seguían necesitando reparaciones mayores. Elabore una matriz de transición para este problema.

5. Hace mucho tiempo, en una galaxia lejana existió un planeta en el que el clima de cualquier día dependía solo del clima del día anterior. Por ejemplo, la probabilidad de que lloviera hoy dependería solo de lo sucedido ayer. Existen solo tres tipos de clima en este planeta; despejado, lluvia y nieve. En seguida se presenta la matriz de transición diaria para estos tipos de clima:

Despejado Lluvia Nieve

Despejado 0.5 0.3 0.2

Lluvia 0.4 0.4 0.2

Nieve 0.3 0.3 0.4

 las probabilidades de encontrarse en cada uno de los estados, después de dos periodos, si el estado inicial fue (despejado: 0.2 lluvioso: 0.4 con nieve: 0.4).

 Si actualmente el clima es despejado. cuál será la probabilidad que tres días después el clima se torne con nieve.

 Si el día de hoy es lluvioso cuantos días tienen que pasar en promedio para volver estar en un día lluvioso por primera vez.

 Si actualmente el clima es despejado cuantos días tienen que pasar en promedio para pasar a un día lluvioso por primera vez.

6. En la industria de la cerveza “ligera” tres marcas comparten aproximadamente el 75% de todas las ventas, la Sudco, la Millis y la Schotz. Estas tres marcas compiten en forma intensa por los clientes de la cerveza “ligera”. En tiempos recientes, la Sudco hizo que una agencia externa llevara a cabo un estudio sobre la forma en que los clientes estaban reaccionando a los anuncios. Los resultados del estudio mostraron que después de tres meses, 50% de los clientes de Sudco seguían prefiriendo la Suds Lite, 30% preferían la Millis, Light Beer y 20% preferían la Schotz Easy Beer. De los clientes de Millis, 60% seguían prefiriendo la Millis Light, 30% preferían la Suds Lite y 10% preferían la Schotz Easy. De los clientes de la Schotz, 40% seguían prefiriendo su marca, 30% preferían la Sudco y 30% preferían la Millis.

a. Elabore la matriz de transición para este problema de cambio de marca.

b. Determine el porcentaje de estado estacionario de los clientes que prefieren cada tipo de cerveza.

7. La Carheel Computers es una nueva empresa que se especializa en la fabricación de minicomputadoras. Sin embargo, las condiciones de flujo de efectivo de la empresa no le permite fabricar más de dos maquinas por mes. La demanda durante cada mes será una o dos maquinas. Existe una probabilidad de 0.3 para la demanda de una maquina y 0.7 para la demanda de dos maquinas. La T arheel Computers considera que debe satisfacer el nivel de demanda, cualquiera que sea. Esto exige que determine una política de producción para satisfacer la demanda. En seguida se muestra una posible política:

Inventario inicial Producción

0 2

1 2

2 1

8. En Smalltown, al 90% de los días soleados siguen días soleados, y al 80% de los días nublados siguen días nublados. Con esta información modelar el clima de Smalltown como cadena de Markov.

9. Se tiene un sistema de inventario en el que la secuencia de eventos durante cada periodo es como sigue: (1) se observa el nivel de inventario (llamemosle i) al principio de del periodo. (2) Si i 1, se piden 4-i unidades. Si i , no se hace ningún pedido. (3) no se piden unidades durante el periodo, con probabilidad ; se pide una unidad durante el periodo, con probabilidad , y se piden 2 unidades durante el periodo, con probabilidad ; se observa el nivel de inventario al principio del siguiente periodo.

Defina un estado de periodo como el nivel de inventario al principio del periodo. Determine la matriz de transición que pudiera usarse para modelar este sistema de inventario como cadena de Markov.

10. Una fabrica tiene dos maquinas. Durante cualquier día, cada máquina que trabaja al principio del día tiene probabilidad x de descomponerse. Si se descompone una maquina durante el día, se manda a un taller de reparación y estará trabajando después que se descompuso. Por ejemplo, si una máquina se descompone durante el día 3, estará trabajando al principio del día 5. Si se hace que el estado del sistema sea el numero de maquinas que trabajan al principio del día, formule una matriz de probabilidad de transición para este caso.

11. En relación con el problema 8, suponga que el tiempo de mañana en Smalltown depende del tiempo que haya prevalecido los últimos dos días; como sigue:(1)si los últimos dos días han sido soleados, entonces el 95% de las veces mañana será soleado. (2) Si ayer estuvo nublado y hoy soleado, entonces el 70% de las veces mañana estará soleado. (3) si ayer estuvo soleado y hoy esta nublado, entonces el 60% de las veces mañana estar nublado. (4) Si los últimos dos días fueron nublados, entonces el 80% de las veces mañana será nublado.

12. En el prob. 10, suponga que una maquina que se descompone regresa al servicio tres días después. Por ejemplo, la maquina que se descompone hoy, el día 3 estará trabajando al principio del día. Determine una matriz de transición de probabilidad para este caso.

13. Al principio de cada año, mi automóvil está en buen, regular o mal estado. Un buen automóvil será bueno al principio del año siguiente, con probabilidad 85%, regular con probabilidad 10%, y mal con probabilidad 0.5. Un automóvil regular estará regular al principio del año siguiente con probabilidad 70% y mal con probabilidad 30%. Cuesta 6000 dólares comprar un buen automóvil, uno regular se puede conseguir por 2000 dólares; uno malo no tiene valor de venta, y se debe reemplazar de inmediato por uno bueno. Cuesta 1000 dólares al año el funcionamiento de un buen automóvil, y 1500 dólares el de uno regular. ¿Debo reemplazar mi automóvil tan pronto como se vuelva regular, o debo esperar hasta que descomponga? Suponga a que el costo de funcionamiento de un automóvil durante un año depende del tipo de vehiculo que se tiene a la mano al principio del año (después de llegar cualquier auto nuevo, si es el caso).

14. Se tiene dos acciones. Las acciones 1, siempre se venden a 10 dólares o 20 dólares. Si hoy las acciones 1 se venden a 10 dólares, hay una probabilidad, 80% de que mañana se venda a 10 dólares. Si las acciones 1 se venden hoy a 20 dólares, hay una probabilidad. 90% a que mañana se vendan a 20 dólares. Las acciones 2 siempre se venden a 10 dólares o a 25 dólares. Si se venden hoy a 10 dólares, hay una probabilidad. 90% a que se vendan mañana a 10 dólares. Si se venden hoy a 25 dólares, hay una probabilidad. 85% de que mañana se vendan a 25 dólares. En promedio. Modele un proceso de Markov ¿Qué acciones se venden a mayor precio?.

15. La compañía de seguros Payoff cobra a sus clientes de acuerdo a su historia de accidentes. Un cliente

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