Metodo Anulador

Método anulador

Resolver la ecuación diferencial D^4 (D-7)y=sen2x-3, cuando y =

Para encontrar y:

y=y_h+y_p

La ecuación es homogénea, tiene como solución general de la función y=e^mx , y por lo tanto su ecuación auxiliar viene dada por:

a_n m^n+a_(n-1) m^(n-1)+⋯a_2 m^2+a_1 m+a_0=0

Aplicando esto, tenemos que D^4 (D-7)=0

Ahora para obtener las raíces:

D^4=0 D-7=0

D=0 D=7

Entonces las raíces son D_1=D_2=D_3=D_4=0,〖 D〗_5=0

Ahora tenemos que la solución para múltiples raíces iguales es la siguiente:

y=C_1 e^(m_1 x)+C_2 xe^(m_2 x)+C_3 x^2 e^(m_2 x)…C_(n-1) 〖x^(n-2) e〗^(m_1 x)+C_n x^(n-1) e^(m_1 x)

Entonces, queda asi

y_h=C_1 e^0x+C_2 xe^0x+C_3 〖x^2 e〗^0x+C_4 x^3 e^0x+C_5 e^7x

y_h=C_1+C_2 x+C_3 x^2+C_4 x^3+C_5 e^7x

Para y_p debemos encontrar un operador diferencial “D” que elimine a sen2x-3

Para esto utilizamos las reglas del método anulador:

Regla 1

Regla 2

Regla 3

〖(D〗^2+4) que elimina a sen2x y (D) para eliminar a -3

■((D^2+4)&(sen2x)&=0@(D)&(-3)&=0)

(D^2+4)(D)=0

De la ecuación anterior obtenemos las tres raíces

■(D^2+4=0& D=0@D_1,2=■(+2i@-2i)& D=0)

Ahora tenemos que la solución parar raíces diferentes es la siguiente:

y=C_1 e^(m_1 x)+C_2 e^(m_2 x)+⋯C_(n-1) e^(m_(n-1) )+C_n e^(m_n x)

Entonces:

y_p=C_1 e^0x+C_2 e^2ix+C_3 e^(-2i)

y_p=C_1+C_2 e^2ix+C_3 e^(-2i)

Utilizando identidad de Euler:

e^(±өi)=cos⁡ө±sin⁡ө

y=c_1 (cos⁡x+i sin⁡x )+c_2 (cos⁡x+i sin⁡x )

y=(c_1+c_2 ) cos⁡x+[i(c_1-c_2 )] sin⁡x

y=A cos⁡x+B sin⁡x

Esta

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