Metodo De Las Isóclinas

Método gráfica para el trazado de trayectorias: método de las isóclinas.

El método de las isóclinas es uno de los utilizados para hallar gráficamente el campo de trayectorias sin necesidad de resolver una ecuación diferencial dada. . El método de las isóclinas es aplicable a la siguiente ecuación diferencial de primer orden:

〖dx〗_2/〖dx〗_1 =(f_2 (x_1,x_2))/(f_1 (x_1,x_2))

Donde f_1 (x_1,x_2) y f_2 (x_1,x_2) son analíticas. En esta ecuación se considera a x_1 como variable independiente a x_2 como variable dependiente.

Se obtiene el lugar de pendiente constante de la trayectoria, es decir, el lugar de en el plano de fase

〖dx〗_2/〖dx〗_1 = ∝ =constante

〖f_2 (x_1,x_2 )=∝f〗_1 (x_1,x_2)

La ecuación da el lugar de pendiente constante ∝ El lugar de los puntos en que las trayectorias tienen una pendiente dada de se domina isóclina. Si se trazan las isóclinas correspondientes a diversos valores de ∝, se pueden obtener los campos de direcciones de tangentes a las trayectorias.

Al construir un diagrama de plano de fase por el método de las isóclinas se puede rellenar todo el plano de fase con pequeños segmentos de líneas que fijan las direcciones del campo. En muchos casos se pueden construir fácilmente las isóclinas para pendientes cero e infinito. Como en un punto singular, la pendiente es indeterminada, en ese punto no se puede trazar un segmento de línea. Para trazar la trayectoria que pasa por cualquier punto ordinario dado, hay que dibujar una curva continua que siga las direcciones del campo.

Todas las trayectorias se aproximan asintótica mente a las trazas de los EIGEN vectores y la tendencia depende del signo de los autovalores. En realidad se aproxima al EIGEN vector más lento correspondiente al auto valor más cercano al origen.

Es posible, ahora, conocer las trayectoria de un sistema conociendo sus auto valores y auto vectores. En la siguiente tabla se ilustra los casos para autovalores reales.

Ejemplo:

Obtener el campo de direcciones para el siguiente sistema e identificar su punto crítico.

dx/dt= -x

dy/dt= -2y

En este caso f(x,y)=-xy y g(x,y)=-2y se anulan a la vez cuando x=y=0, de modo que (0,0) es el punto crítico. El campo de direcciones para la ecuación en el plano fase es:

dy/dx=(-2y)/(-x)=2y/x

Las trayectorias del semiplano derecho (donde x>0)

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