Metodo Simplex

Cuando los problemas de programación lineal tienen más de dos variables

ya no es posible graficarlos (fácilmente), entonces para poder solucionar

este tipo de modelos aplicamos el método simplex. Igualmente, los

modelos de dos variables se pueden solucionar por método simplex sin

ningún problema. Como en esta sección vamos a analizar el desarrollo del

método simplex no vamos a modelar un problema, si no que partiremos de

un modelo listo. Debemos tener en cuenta que estos modelos tienen unas

modificaciones básicas, en el caso que veremos a continuación debemos

tener muy en cuenta la inclusión de las variables de holgura al modelo

original para generar el modelo en su forma aumentada y poder armar el

tebleau de simplex.

El modelo original es el siguiente:

Max Z = 3X1 +5X2

Sujeto a:

X1 ≤ 4

2X2 ≤ 12

3X1 + 2X2 ≤ 18

X1, X2 ≥ 0

Es necesario que todas las restricciones estén de la forma ≤ como se

muestra en el modelo anterior; los cambios de esta forma o del criterio de

la función en su forma de minimización hacen que el proceso previo al

desarrollo del método simplex cambie.

Por cada restricción del tipo ≤ se debe agregar una variable de holgura,

estas variables nos mostrarán más adelante los faltantes de los recursos en

MÉTODO S IMPLEX

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el análisis pos óptimo; estas variables continúan la nomenclatura de la

notación natural de los modelos, entonces en este caso agregaremos

variables de holgura desde X3, y se debe agregar una variable de holgura

por cada restricción que tenga el modelo; en este caso debemos agregar

3 variables de holgura. Las restricciones de no negatividad no se

contemplan, además se cambian las desigualdades por igualdades; de

esta manera, la forma aumentada del modelo quedaría de la siguiente

manera:

Max Z = 3X1 +5X2

Sujeto a:

X1 + X3 = 4

2X2 + X4 = 12

3X1 + 2X2 + X5 = 18

X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0

Si una variable de holgura es igual a cero en la solución actual, entonces

esta solución se encuentra sobre la frontera de restricción para la

restricción funcional correspondiente. Un valor mayor de cero significa que

la solución está en el lado factible de la frontera de restricción, mientras

que un valor menor de cero significa que está en el lado no factible de

esta frontera.

Para la forma aumentada del modelo observe que el sistema de

restricciones funcionales tiene 5 variables y 3 ecuaciones, así

Número de variables – número de ecuaciones = 5 – 3 = 2.

Este hecho proporciona 2 grados de libertad al resolver el sistema, ya que

se pueden elegir dos variables cualesquiera e igualarlas a cualquier valor

3

arbitrario para resolver las tres ecuaciones en términos de las tres variables

restantes.

Para realizar la construcción de la tabla cero sólo falta un paso y es dejar la

función objetivo igualada a cero, esto significa que la función objetivo se

modificaría de la siguiente manera:

Z - 3X1 - 5X2 = 0

Así, el modelo aumentado listo para pasar a la tabla cero sería:

Z - 3X1 - 5X2 = 0

X1 + X3 = 4

2X2 + X4 = 12

3X1 + 2X2 + X5 = 18

X1, X2, X3, X4, X5 ≥ 0

Ahora, la tabla cero del método simplex contiene los siguientes campos:

Variable Coeficiente de:

básica

Ecuación

numerada Z X1 X2 X3 X4 X5

Lado

derecho

En la sección de coeficientes se deben poner tantas variables como posea

el sistema; en el caso de nuestro ejemplo tenemos

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