Metodologia

2) .Segundo problema

Solución: h / r = √2

El embudo descrito es en realidad el área lateral de un cono. Así que para que la cantidad de material sea la menor posible, la superficie lateral del cono tiene que ser minima.

Superfice lateral de un cono:

s = π•r•g = π•r•√(r² + h²)

...siendo

r = radio de la base del cono

h = altura del cono

g = √(r² + h²) = generatriz del cono

Función que hay que minimizar

<1> s = π•r•√(r² + h²)

Como nos dicen que el embudo tiene que ser de un volumen V determinado, entonces utilizamos la fórmula del volumen de un cono:

<2> V = π•r²•h / 3

...de donde podemos despejar la altura

h = 3•V / (π•r²)

...y sustituirla en nuestra función <1> de la superficie, quedando una función con sólo una variable (r):

s = π•r•√(r² + (3•V / (π•r²))²)

...operamos un poco

s = π•r•√(r² + (9•V² / (π²•r^4)))

...denominador común

s = π•r•√[(π²•r^6 + 9•V²) / (π²•r^4)]

...raíz cuadrada del denominador

s = (π•r / (π•r²))•√(π²•r^6 + 9•V²)

s = (1/r)•√(π²•r^6 + 9•V²)

Y para localizar los extremos (máximos o mínimos) de una una función utilizamos su derivada. Ya que ésta tiene que ser nula en dichos puntos.

Derivamos la función "s" como un producto de funciones:

s' = (-1 / r²)•√(π²•r^6 + 9•V²) + (1 / r)•(6π²•r^5)/(2•√(π²•r^6 + 9•V²))

...y la arreglamos un poco

s' = [- 2•(π²•r^6 + 9•V²) + r•(6π²•r^5) ] / (2•r²•√(π²•r^6 + 9•V²))

s' = [- 2π²•r^6 - 18•V² + 6π²•r^6 ] / (2•r²•√(π²•r^6 + 9•V²))

s' = [ 4π²•r^6 - 18•V² ] / (2•r²•√(π²•r^6 + 9•V²))

La igualamos a cero y despejamos el valor de "r" que hace mínima la función

s' = 0 ==> 4π²•r^6 - 18•V² = 0

==> r^6 = 18•V² / (4π²)

Como queremos obtener la relación entre r y h, entonces volvemos a poner V en función de r y h (ecuación <2> de arriba), obteniendo:

r^6 = 18•(π•r²•h / 3)² / (4π²)

r^6 = 2•π²•r^4•h² / (4π²)

r² = h² / 2

r = h / √2

3.TERCER PROBLEMA

En el dibujo que está en:

Tienes dibujada la sección de la canaleta. Se trata de maximizar el área de esa sección. El área puede expresarse como la suma de las áreas de los 2 triángulos laterales, más el área del rectángulo central. (Podrías hacer lo mismo a partir de la fórmula del área de un trapecio).

Entonces tenemos:

1) A = (a*h)/2 + 1*h + (a*h)/2 = a*h + 1*h

Por otro lado:

2) senδ = a/1 --> a = 1*senδ

y además

3) cosδ = h/1 --> h = 1*cosδ

Reemplazando 2) y 3), en 1):

A = (1*senδ*1*cosδ) + (1*1*cosδ)

Operando:

A = (1*senδ*cosδ) + (1*cosδ)

Derivando para encontrar el máximo:

4) A’ = 1*(cosδ)^2 – 1*(senδ)^2 – 1*senδ

Como:

5) (cosδ)^2 = 1 – (senδ)^2

Reemplazando 5) en 4):

A’ = 1*(1 – (senδ)^2) – 1*(senδ)^2 – 1*senδ

Simplificando:

A’ = 1 – 1*(senδ)^2 – 1*(senδ)^2 – 1*senδ

6) A’ = 1 – 2*(senδ)^2 – 1*senδ

Igualando a cero, simplificando

...