Movimiento Curvilineo

COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL EN EL MOVIMIENTO CURVILINEO

En algunos problemas de movimiento de un plano, la; posición de la particular P se define por sus coordenadas polares r y θ. Entonces es conveniente descomponer la velocidad y la aceleración de la partícula en sus componentes paralela y perpendicular, respectivamente, a la recta OP. A estas componentes se les llama componentes radial y transversal.

Unimos a P dos vectores unitarios e_r y e_θ. El vector e_r se dirige a lo largo de OP y el vector e_θ se obtiene girando e_r un ángulo de 900 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. El vector unitario e_(r ) define la dirección radial, es decir, la dirección en la que P se, movería si r fuese a aumentar manteniendo θ constante; el vector unitario e_θ define la dirección transversal, es decir, la dirección en la que P se movería si θ aumentara manteniendo r constante. Siguiendo procedimientos determinamos las derivadas del vector unitario e_t para determinar las relaciones

(de_r)/dθ=e_θ

(de_θ)/dθ=〖-e〗_r

Donde 〖-e〗_r, representa un vector unitario de sentido opuesto al de e_r. Empleando la regla de la cadena para la derivación, expresamos a las derivadas temporales de los vectores unitarios e_r y e_θ en la forma siguiente:

(de_r)/dt= (de_r)/dθ.dθ/dt= e_θ dθ/dt

(de_θ)/dt= (de_θ)/dθ.dθ/dt= 〖-e〗_r dθ/dt

o, usando puntos para indicar la derivación respecto a t,

e ̇_r= θ ̇e_θ

e ̇_θ= -θ ̇e_r

Para obtener la velocidad v de la partícula P, expresamos el vector de posición r de P como el producto del escalar r y el vector unitario e_r y derivamos respecto de t

v=d/dt (re_r )= r ̇ e_r+re ̇_r

O, recordando la primera de las relaciones

v= r ̇ e_r+rθ ̇ e_θ

Si se deriva otra vez respecto de t para obtener la aceleración, escribimos

a=dv/dt= r ̈ e_r+r ̇e ̇_r+r ̇θ ̇e_θ+rθ ̈e_θ+rθ ̇e ̇_θ

O, sustituyendo los valores de e ̇_r y e ̇_θ y factorizando e_r y e_θ tenemos:

a=(r ̈-rθ ̇^2 ) e_r+(rθ ̈+2r ̇θ ̇)e_θ

Las componentes escalares de la velocidad y de la aceleración en las direcciones radial y transversal son por consiguiente:

〖 v〗_r= r ̇ v_θ= rθ ̇

a_r=r ̈-rθ ̇^2 a_θ=rθ ̈+2r ̇θ ̇

Es importante notar que a_r no es igual a la derivada temporal de v_r, y que a_θ tampoco es igual a la derivada de v_θ.

En el caso de una partícula que se mueve en un círculo de centro O, tenemos que r= constante y (r= r ̈=0) ̇, y las formulas anteriores se reducen a:

v= rθ ̇ e_θ

a= -rθ ̇^2 e_r+rθ ̈e_θ

EJERCICIOS

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