PANDEO DECOLUMNAS
cleheTesis16 de Mayo de 2015
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PANDEO DECOLUMNAS
Adaptado de Introducción a la Mecánica de los Sólidos, E. Popov, Ed. Limusa, México D.F. 1981.
9.1. INTRODUCCIÓN
Al comienzo de este curso se estableció que la selección de elementos estructurales se basa en
tres características: resistencia, rigidez y estabilidad. Los procedimientos de análisis de esfuerzos
y deformaciones se estudiaron en detalle en los capítulos anteriores. En este capítulo se tratará
la cuestión de la posible inestabilidad de sistemas estructurales. En tales problemas se deben
hallar parámetros críticos adicionales que determinen si es posible una configuración o patrón de
desplazamientos dado para un sistema particular. Este problema es diferente de cualquiera de los
vistos antes. Como un ejemplo intuitivo sencillo considérese una barra de diámetro D sometida
a una fuerza axial de compresión. Si tal barra actuando como “columna”, fuera de longitud D
no surgiría ninguna cuestión acerca de la inestabilidad y este miembro corto podría soportar un
fuerza considerable. Por otra parte, si una misma barra tuviera una longitud de varios diámetros,
al ser sometida a una fuerza axial aún menor que la que puede soportar la pieza corta podría llegar
a ser lateralmente inestable presentándose en ella pandeo lateral y podría fallar o sufrir colapso.
Una regla delgada ordinaria, si se somete a una compresión axial, fallará de esta manera. La
consideración de la sola resistencia del material no es suficiente para predecir el comportamiento
del miembro.
El mismo fenómeno se presenta en numerosas otras situaciones en que existen esfuerzos de
compresión. Placas delgadas completamente capaces de resistir cargas en tracción, resultan muy
ineficaces para transmitir compresión. Vigas angostas sin arriostramiento lateral, pueden doblarse
lateralmente y romperse por la acción de una carga aplicada. Tanques de almacenamiento, así como
silos metálicos, a menos que estén apropiadamente diseñados, pueden deformarse gravemente por
la presión externa (viento) o interna (líquidos o granos) y asumir formas que difieren en forma
notable de su configuración geométrica original. Un tubo de pared delgada puede arrugarse o
plegarse como un papel de seda cuando se somete a una torsión. Estos son problemas de primordial
importancia en el diseño en ingeniería civil. Además por lo general los fenómenos de pandeo o
arrugamiento que se observan en miembros cargados ocurren más bien repentinamente. Por esta
razón muchas de las fallas estructurales por pandeo son espectaculares y muy peligrosas.
El enorme número de problemas de inestabilidad o pandeo de estructuras sugerido por la lista
anterior está fuera del alcance de este texto1. Aquí sólo se considerará el problema de la columna.
Utilizándolo como ejemplo, sin embargo, se ponen de relieve las características esenciales del
fenómeno de pandeo y algunos procedimientos básicos para su análisis. Este se llevará a cabo
investigando primero el comportamiento de barras delgadas cargadas axialmente y sometidas
1Ver por ejemplo, D. Bushnell, Computerized buckling analysis of shells, Martinus Nijhoff, Dordretch, Holanda,
1985.
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simultáneamente a flexión. Tales miembros se llaman vigas columnas. Los problemas de vigas
columnas, además de tener un significado propio permiten determinar las magnitudes de cargas
axiales críticas a las que ocurre el pandeo.
A continuación se tratará el pandeo de columnas ideales cargadas concéntricamente. Esto
conduce al examen de los valores característicos (o autovalores) de las ecuaciones diferenciales
apropiadas. Las autofunciones correspondientes dan las formas de pandeo de tales columnas. Se
describirá el pandeo elástico y se establecerán límites de validez para el caso de comportamiento
elasto-plástico y se presentará también alguna información acerca de columnas cargadas excentricamente.
Finalmente se hará una breve clasificación en base a ejemplos sencillos de problemas en
estabilidad elástica a los fines de dar un panorama más completo del tema.
9.2. NATURALEZA DEL PROBLEMA DE LA VIGA COLUMNA
El comportamiento de vigas columnas reales se puede entender mejor considerando primer un
ejemplo idealizado, que se muestra en la Figura .a. Aquí, para simplificar, una barra perfectamente
rígida de longitud L se mantiene inicialmente en posición vertical por medio de un resorte en A
que tiene una rigidez a la torsión k. Luego una fuerza vertical P y una horizontal F se aplican en
el extremo superior. A diferencia del procedimiento seguido en todos los problemas anteriores, se
deben escribir ahora las ecuaciones de equilibrio para la condición deformada. Teniendo presente
que k es el momento resistente que desarrolla el resorte en A se obtiene
X
MA = 0 +, PL sen + FL cos − k = 0
o sea
P =
k − FL cos
L sen
(9.1)
El aspecto cualitativo de este resultado se muestra en la Figura 9.1.b y la curva correspondiente
se ha marcado como la solución exacta. Es interesante observar que cuando → , siempre que
el resorte continúe funcionando, el sistema puede soportar una fuerza muy grande P. Para una
fuerzas aplicada verticalmente hacia arriba, indicada con un sentido contrario en la figura, el
ángulo disminuirá cuando P aumente. En el análisis de problemas de los capítulos anteriores el
término PL sen no había aparecido en lo absoluto.
La solución expresada por la ecuación (9.1) es para rotaciones arbitrariamente grandes. En
problemas complejos es muy difícil alcanzar soluciones de tal generalidad. Además en la mayoría
de las aplicaciones no se pueden tolerar desplazamientos de gran magnitud. Por consiguiente de
ordinario es posible limitar el estudio del comportamiento de sistemas al caso de desplazamientos
pequeños y moderadamente grandes. En este problema lo anterior se puede realizar poniendo
sen ∼= y cos = 1. De esta forma la ecuación (9.1) se simplifica a
P =
k − FL
L
o =
FL
k − PL
(9.2)
Para valores pequeños de esta solución es completamente aceptable. En cambio a medida que
aumenta, la discrepancia entre esta solución linealizada y la solución exacta llega a ser muy
grande, Figura 9.1.b.
Para una combinación crítica de los parámetros k, P y L, el denominador (k − PL) en el último
término de la ecuación (9.2) sería cero y presumiblemente daría lugar a una rotación infinita.
Esto es completamente irreal y resulta de una formulación matemática impropia del problema.
No obstante, tal solución proporciona una buena guía acerca del valor de la magnitud de la fuerza
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0
k/L
solución
exacta
solución linealizada
P
q
p
L
P
F
A
q
barra
rígida
(a) (b)
Figura 9.1: Respuesta fuerza-desplazamiento de un sistema con un grado de libertad
axial P a la que las deflexiones llegan a ser intolerablemente grandes. La asíntota correspondiente
a esta solución, obtenida de la igualdad (k − PL) = 0, define la fuerza PC como
PC =
k
L
(9.3)
Es significativo observar que en sistemas reales las grandes deformaciones asociadas a fuerzas
del mismo orden de magnitud que PC por lo general causan tensiones tan grandes que hacen
inservible el sistema. Por otra parte, el análisis no lineal de sistemas estructurales debido al
cambio de configuración geométrica y al comportamiento inelástico de los materiales es muy
complejo y requiere de herramientas computacionales que no siempre están al alcance del analista.
Por consiguiente, en el análisis de pandeo de miembros a compresión desempeña el papel más
importante la determinación de PC con una base simplificada, siguiendo las líneas del método
utilizado en el ejemplo anterior.
A continuación se emplearán los conceptos anteriores en la resolución de un problema de una
viga-columna elástica.
9.2.1. Ejemplo 1
Una viga columna se somete a fuerzas axiales P, y a una fuerza transversal hacia arriba, F, en
su punto medio, Figura 9.2.a. Determinar la ecuación de la elástica y la fuerza axial crítica PC.
Considérese que EI es constante.
El diagrama de cuerpo libre de la viga columna se muestra en la Figura 9.2.b. Este diagrama
permite la expresión del momento flector total M, que incluye el efecto de la fuerza axial P
multiplicada por el desplazamiento v. El momento total dividido por EI puede hacerse igual a la
expresión aproximada habitual de la curvatura para pequeñas rotaciones d2v/dx2. Debido a esto,
como en el ejemplo anterior, se obtendrán desplazamientos infinitos en las cargas críticas.
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L/2 L/2
P P
F
v F
P P x
x
v
M
F/2 F/2
(a) (b)
Figura 9.2: .
Por lo tanto, utilizando la relación M = EIv” y observando que en la mitad izquierda de la
viga M = −F
...