PARA ESTUDIANTES

Ejemplo 1: El conjunto A= {(x; y) ∈ IR2: x > 0} es un abierto de IR2 con la distancia

usual.

(IR2, d)

Considero un punto (genérico) P0 ∈ A, entonces B (P0, X0) ⊂ A y para demostrar

que la bola está totalmente incluida en A:

tomo un punto P cualquiera P ∈ B (Po, X0)

d (P, P0 )< X0 (por def de bola)

(X0 – X)2 + (Y0-Y)2< X02 (aplicando def de distancia y elevando al cuadrad)

(X0-X) < X0 ( en este paso nose que propiedad se aplica)

-X< X0- X0 (despejando)

-X< 0

X> 0

y como P ∈ A sabemos que la B(P0, X0) ⊂ A y como P0 es cualquier punto de A, podemos decir que todos los puntos de A son interiores.

Luego A es abierto

Ejemplo 2: El conjunto A = {(x; y) ∈ IR2 : 0≤ x ≥1; 0≤ y ≥1} no es un abierto de

IR2 con la distancia usual. Por ejemplo, ninguna bola abierta centrada en el origen, o en cualquier punto de la frontera, está totalmente contenida en A.

Esto es verdadero; tomando un x ∈ Fr (A) ⬄ es punto de frontera

(Por def de front ) ∀ Ε > 0 B(x, Ε) ⋂ A ≠ ⌀ ˄ B(x, Ε) ⋂ AC ≠ ⌀

Eligiendo un punto de la frontera (1,1) ∈ A, ∀ Ε > 0 B ((1,1), E) ⋂ A ≠ ⌀ ˄ B( (1,1), E) ⋂ AC ≠ ⌀, tomando el punto P (1+E, 1+E) que ∈ B((1,1), E) pero ∉ A.

Luego p no es interior A no es abierto.

Ejemplo 3: El conjunto A= {(x, y) ∈ IR2: 0< x >1, 0< y >1} es un abierto de IR2 con la distancia usual.

Si P0=(x0, y0) ∈ A y la distancia min que consideramos E=min{x0, 1-x0; y0, 1-y0} entonces B( P0, E) ⊂ A y para demostrar que la bola está totalmente incluida en A, tomamos un punto x ∈ B(P0, E) d(P0,x) < E y r = (E – d( P0,x)) >0, afirmamos B(x, r)⊑B(P0,E) y como x ∈ A y sabemos que B(P0,E) ⊂ A y como P0 es cualquier punto de A , podemos decir que todos sus puntos son interiores.

Ejemplo

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