Par Ordenado

MATEMATICA

Par ordenado

En matemáticas, un par ordenado es una pareja de objetos matemáticos, en la que se distingue un primer elemento y un segundo elemento. El par ordenado cuyo primer elemento esa y cuyo segundo elemento es b se denota como (a, b).

Un par ordenado (a, b) no es el conjunto que contiene a a y b, {a, b}. Un conjunto está definido únicamente por sus elementos, mientras que en un par ordenado el orden de estos es también parte de su definición. Por ejemplo, los conjuntos {0, 1} y {1, 0} son idénticos, pero los pares ordenados (0, 1) y (1, 0) son distintos.

Los pares ordenados también se denominan 2-tuplas o vectores 2-dimensionales. La noción de una colección finita de objetos ordenada puede generalizarse a más de dos objetos, dando lugar al concepto de n-tupla.

El producto cartesiano de conjuntos, las relaciones binarias y las funciones se definen en términos de pares ordenados.

Definición

La propiedad característica que define un par ordenado es la condición para que dos de ellos sean idénticos:

Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son idénticos si y sólo si coinciden sus primer y segundo elemento respectivamente:

Los elementos de un par ordenado también se denominan componentes.

Producto cartesiano

Artículo principal: Producto cartesiano.

Dados dos conjuntos X e Y, la colección de todos los pares ordenados (x, y), formados con un primer elemento en X y un segundo elemento en Y, se denomina el producto cartesiano de X eY, y se denota X × Y. El producto cartesiano de conjuntos permite definir relaciones yfunciones.

Generalizaciones

Artículo principal: N-tupla.

Es habitual trabajar con colecciones ordenadas de más de dos objetos, sin más que extender la definición del par ordenado. Por ejemplo, un trío ordenado o terna ordenada es una terna de objetos matemáticos en la que se distinguen un primer, segundo y tercer elemento. La propiedad principal de un trío ordenado es entonces:

(a1, a2, a3) = (b1, b2, b3) si y sólo si a1 = b1 , a2 = b2 , y a3 = b3

En general se puede adoptar una definición similar para un número cualquiera de elementos n, dando lugar así a una n-tupla.

Construcción

La propiedad característica de igualdad entre pares ordenados es su única propiedad relevante para su uso en matemáticas.1 Sin embargo, en teoría de conjuntos se construyen todos los objetos matemáticos a partir de conjuntos: números, funciones, etc. En este contexto, se utiliza una definición de par ordenado como un tipo particular de conjunto.

La definición conjuntista más habitual, debida a Kuratowski, es:

Mediante el axioma de extensionalidad y el axioma del par puede demostrarse que este término define un conjunto, con la propiedad característica del par ordenado.

Es una pareja de elementos dados en cierto orden; estos elementos pueden ser numéricos o de otra clase. Los encontramos en la vida diaria de diferentes maneras, por ejemplo: el marcador de partidos deportivos entre dos equipos, los pares entre: pais-capital; provincia-capital; esposo-esposa; nombres-apellidos, nombre-edad, etc.

• Nosotros estudiaremos los pares ordenados numéricos; con naturales, fracionarios y decimales.

♠ Concepto.-

(x, y) es un par ordenado cualquiera, x ≠ y, en donde x es el primer elemento llamado primera componente y y es el segundo elemento llamado segunda componente.

IMPORTANTE: (x, y) ≠ (y, x). Es decir el orden de las componentes no puede ser cambiado.

Estas componentes numéricas, se pueden graficar en los ejes cartesianos o plano cartesiano; la primera componente representa la abscisa y se ubica en el eje x; la segunda componente representa la ordenada y se ubica en el eje y. (x, y).

Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.

El término desigualdad puede hacer referencia a:

En matemática

• Desigualdad matemática, es un tipo de expresión algebraica que utiliza los símbolos "mayor que" (>) y "menor que" (<).

• Inecuación, una desigualdad matemática en la que intervienen variables.

• Desigualdad triangular, es un teorema matemático.

En matemáticas, una desigualdad es una relación de ordenque se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

• La notación a < b significa a es menor que b;

• La notación a > b significa a es mayor que b;

estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual ab; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

• La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;

• La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;

estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

• La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;

• La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;

esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.

• La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

no sabemos

•

Cuerpo ordenado

Si (F, +, ×) es un cuerpo y ≤ es un orden total sobre F, entonces (F, +, ×, ≤) es un cuerpo ordenado si y solo si:

• a ≤ b implica a + c ≤ b + c;

• 0 ≤ a y 0 ≤ b implica 0 ≤ a × b.

Los cuerpos (Q, +, ×, ≤) y (R, +, ×, ≤) son ejemplos comunes de cuerpo ordenado, pero ≤ no puede definirse en los complejos para hacer de (C, +, ×, ≤) un cuerpo ordenado.

Las desigualdades en sentido amplio ≤ y ≥ sobre los números reales son relaciones de orden total, mientras que las desigualdades estrictas < y > sobre los números reales son relaciones de orden estricto.

Notación encadenada[editar]

La notación a < b < c establece que a < b (a menor que b) y que b < c (b menor que c) y aplicando la propiedad transitiva anteriormente citada, puede deducirse que a < c (a menor que c). Obviamente, aplicando las leyes anteriores, puede sumarse o restarse el mismo número real a los tres términos, así como multiplicarlos o dividirlos todos por el mismo número (distinto de cero) invirtiendo las inecuaciones según su signo. Así, a < b + e < c es equivalente a a - e < b < c - e.

Esta notación se puede extender a cualquier número de términos: por ejemplo, a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ anestablece que ai ≤ ai+1 para i = 1, 2, ..., n−1. Según la propiedad transitiva, esta condición es equivalente a ai ≤ aj para cualesquiera 1 ≤ i ≤ j ≤ n.

Ocasionalmente, la notación encadenada se usa con inecuaciones en diferentes direcciones. En ese caso el significado es la conjunción lógica de las desigualdades entre los términos adyacentes. Por ejemplo:

a < b = c ≤ d

significa que a < b, b = c, y c ≤ d (y por transitividad: a < d). Esta notación es utilizada en algunoslenguajes de programación tales como Python.

Desigualdades entre medias[editar]

Véase también: Desigualdad de las medias aritmética y geométrica.

Las distintas medias pueden relacionarse utilizando desigualdades. Por ejemplo, para números positivos a1, a2, …, an, si

  (Media armónica),

(Media geométrica),

(Media aritmética),

(Media cuadrática),

entonces: .

DESIGUALDADES

Una inecuación o desigualdad es lo mismo que una ecuación pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.

Los signos de desigualdad son

Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver la desigualdad

3 > x - 8.

Sumando la misma cantidad a ambos lados:

3 > x - 8

3 + 8 > x - 8 + 8

11 > x

Una regla importante en las desigualdades es que cuando se multiplica o divide por un número negativo, el signo de desigualdad cambia.

Ejemplo:

Normalmente la respuesta de una desigualdad se encuentra desde un numero hasta llegar a otro numero, contando a todo numero que se encuentre en medio de estos, esto normalmente es conocido como un intervalo (seran estudiados en la siguiente leccion).

Desigualdades que Envuelven Dos Posibles Soluciones

Hay desigualdades que envuelven dos posibles soluciones, una positiva y otra negativa.

Por ejemplo:

También existen sistemas de dos o mas inecuaciones con respuestas iguales estas se trabajan igual que los sistemas de ecuaciones, cuyas reglas veremos en el capitulo 43.

Gráfica de una función

En matemáticas, la gráfica de una función:

es la representación gráfica de la correspondenciaentre los elementos del conjunto dominio y los delconjunto

...