Vectores en Rn. Par Ordenado

Vectores en Rn.

Par Ordenado

Dados dos números “a” y “b” llamaremos par ordenado al elemento (a,b) que cumple las siguientes condiciones:

1. Si a es distinto de b entonces (a,b) ≠ (b, a)
2. (a,b) = (a’,b’) si y solamente si a = a’ y b = b’

Observación:

a es la primera componente.

b es la segunda componente.

Ejemplo:

                 (cos π, tg π/4) = (-1, 1)

Producto Cartesiano

Sean A y B dos conjuntos, llamaremos producto cartesiano de A y B y denotaremos

A x B al conjunto de todos los pares ordenados (x, y) que pertenecen a A y B.

A x B = { (x, y) / x є A ˄ y є B}                   (˄ significa y)

Ejemplo:

A = {-1,  3}                       B = {0, 1}[pic 1]

A x B = { (-1, 0), (-1, 1), ( 0), ( 1), (3, 0), (3,1)}[pic 2][pic 3]

[pic 4]

Eje horizontal (eje x)

Eje Vertical (eje y)

Dados A, B, C

A x B x C = {(x, y, z) / x є A, y є B, z є C}

Notación: Si

• A = B

A2 = A x A = {(x, y) / x, y є A}

• A = B = C

A3 = A x A x A = {(x, y, z) / x, y, z є A}

Solo se grafican las ternas, más no.

• A = R                       R conjunto de números reales

R 2 = R  x R = {(x, y) / x, y є R}

R 3 = R  x R x R = {(x, y, z) / x, y, z є R}

                           = {(x1, x2, x3) / x1, x2, x3 є R}

                           = {(x1, x2, x3) / Ɐ i є N, 1 ≤ i ≤ 3  xi є R}

R x R x R x R = {(x1, x2, x3, x4) / x1, x2, x3, x4 є R}

Rn = R x R x R x … x R = {(x1, x2, …,  xn) / Ɐ i є N, 1 ≤ i ≤ n  xi є R}

n = 1      Representamos en la recta

n = 2      Representamos en el plano

n = 3      Representamos en el espacio

Definición de vector

• Si ʋ es un vector del plano cuyo punto inicial es el origen y punto final es (ʋ1, ʋ2), entonces el vector ʋ  en forma de componente viene dado por 

ʋ = (ʋ1, ʋ2)

Las coordenadas ʋ1, ʋ2 se conocen como componentes de ʋ.

Si ambos puntos, el inicial y el final, son el origen, entonces a ʋ se le llama vector cero o nulo y se denota mediante Ɵ = (0, 0)

• Si ʋ es un vector del espacio cuyo punto inicial es el origen y punto final es

(ʋ1, ʋ2, ʋ3), entonces el vector ʋ  en forma de componente viene dado por 

ʋ = (ʋ1, ʋ2, ʋ3)

Si ambos puntos, el inicial y el final, son el origen, entonces a ʋ se le llama vector cero o nulo y se denota mediante Ɵ = (0, 0, 0)

• Si ʋ viene representado por el segmento recto dirigido desde P = (p1, p2) hasta

Q = (q1, q2) entonces la escritura de ʋ en la forma de componentes se obtiene restando de las coordenadas del punto final las del punto inicial.

En R2

ʋ = (ʋ1, ʋ2) = (q1 - p1, q2 – p2) 

En R3

ʋ = (ʋ1, ʋ2, ʋ3) = (q1 - p1, q2 – p2, q3 – p3 )

Longitud, módulo o norma de ʋ

En R2

[pic 5]

En R3

[pic 6]

Ejemplo: Calcular la norma del vector , siendo P = (1, 2) y Q = (4, 4)[pic 7]

ʋ = =   = (4 – 1, 4 – 2) = ( 3, 2)[pic 8][pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

Ejemplo: Calcular la norma del vector , siendo P = (-2, 3, 1) y Q = (0, -4, 4)[pic 12]

ʋ = =   = (0 – (-2), -4 – 3, 4 - 1) = ( 2, -7, 3)[pic 13][pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

Eje x (rojo)

Eje y (verde)

Eje z (azul)

Igualdad de vectores:

En R2           P = (p1, p2)  y  Q = (q1, q2)

P = Q si y solamente si p1 = q1 y p2 = q2 

En R3           P = (p1, p2, p3)  y  Q = (q1, q2, q3)

P = Q si y solamente si p1 = q1 , p2 = q2  y  p3 = q3

Suma de vectores y Producto por un escalar en R2

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