REGRESION LINEAL MULTIPLE

Introducción

La regresión lineal múltiple es una técnica que intenta modelar probabilísticamente el valor esperado de una variable Y, a partir de los valores de dos o más predictores. Es un método muy poderoso y ampliamente utilizado en investigación (Canavos 1988)

Para: Determinar la posibilidad de predecir a través de una expresión muy simple el valor de la respuesta de interés, a partir de los valores observados de una serie de factores (por ejemplo: riesgo de silicosis, a partir de edad, tiempo trabajando expuesto a sílice, uso de elementos de protección, etc.).

Determinar la importancia relativa de la asociación lineal entre la respuesta y un predictor respecto a la asociación entre ella y otro predictor.

Estimar la relación lineal entre los predictores y la variable respuesta a partir de nuestros datos: ¿Cuál sería el modelo lineal que recomendaríamos más adecuado, sencillo, pero relativamente preciso?

Palabras Clave: Modelar probabilísticamente, Valores, Investigación, Factores, Asociación lineal.

Desarrollo

La regresión lineal múltiple es matemáticamente similar a la regresión lineal simple (Taucher 1997, Polit y Hungler 2000), tomando la siguiente forma:

Y = β0 + β1*X1 + β2*X2 + … + βp*Xp + e

Dónde:

Y Variable respuesta

β0 Intercepto

β1 Pendiente del predictor X1

β2 Pendiente del predictor X2

βp Pendiente del predictor Xp

E Parte de la variabilidad de la respuesta correspondiente a un perfil dado de los predictores no explicada por el conjunto de los distintos predictores; parte aleatoria del modelo de regresión múltiple.

El método de estimación de parámetros es equivalente al modelo de regresión lineal simple (Salinas y Silva 2007), pero en este caso se realiza a través de matrices.

Ejemplo:

Se desea estimar si la presión arterial está influenciada en la edad y el peso de las personas. Para ello se escogió una muestra de 19 personas y se obtuvo los siguientes resultados.

Nº | Presión (mmHg) (Y1) | Edad (años) (X1) | Peso (Kg) (x2) | X12 | X1* X2 | X22 | X1* Y1 | X2* Y1 |

1 | 118 | 35 | 89 | 1225 | 3115 | 7921 | 4130 | 10502 |

2 | 140 | 37 | 76 | 1369 | 2812 | 5776 | 5180 | 10640 |

3 | 130 | 25 | 77 | 625 | 1925 | 5929 | 3250 | 10010 |

4 | 125 | 20 | 71 | 400 | 1420 | 5041 | 2500 | 8875 |

5 | 137 | 40 | 89 | 1600 | 3560 | 7921 | 5480 | 12193 |

6 | 114 | 28 | 80 | 784 | 2240 | 6400 | 3192 | 9120 |

7 | 105 | 23 | 75 | 529 | 1725 | 5625 | 2415 | 7875 |

8 | 139 | 39 | 85 | 1521 | 3315 | 7225 | 5421 | 11815 |

9 | 154 | 38 | 86 | 1444 | 3268 | 7396 | 5852 | 13244 |

10 | 128 | 30 | 81 | 900 | 2430 | 6561 | 3840 | 10368 |

11 | 111 | 20 | 75 | 400 | 1500 | 5625 | 2220 | 8325 |

12 | 119 | 23 | 73 | 529 | 1679 | 5329 | 2737 | 8687 |

13 | 160 | 45 | 90 | 2025 | 4050 | 8100 | 7200 | 14400 |

14 | 131 | 48 | 91 | 2304 | 4368 | 8281 | 6288 | 11921 |

15 | 127 | 37 | 90 | 1369 | 3330 | 8100 | 4699 | 11430 |

16 | 119 | 31 | 83 | 961 | 2573 | 6889 | 3689 | 9877 |

17 | 130 | 33 | 82 | 1089 | 2706 | 6724 | 4290 | 10660 |

18 | 142 | 38 | 84 | 1444 | 3192 | 7056 | 5396 | 11928 |

19 | 149 | 38 | 90 | 1444 | 3420 | 8100 | 5662 | 13410 |

SUMA | 2478 | 628 | 1567 | 21962 | 52628 | 129999 | 83441 | 205280 |

Con estos datos se obtiene:

Y1=β0+β1x1+β2x2

β=xt*x-1(xt*y)

xt*x=n∑x1∑x2∑x1∑x12∑x1x2∑x2∑x1x2∑x22=1962815676282196252628156752628129999

xt*y=∑y1∑x1y1∑x2y1=247883441205280

β=1962815676282196252628156752628129999-1*247883441205280

β=137.9341.8525-0.834

Y1=137.934+1.8525X1 - 0.8335X2

Entonces,

...