RESIDUOS DE POTENCIAS

A continuación, observaremos detenidamente algunas particularidades presentes en las tablas elaboradas anteriormente, así:

a p Residuos # Residuos

3 3 1 y 0 2

4 1,3 2

5 1,3,4,2 4

6 1,3 2

7 1,3,2,6,4,5 6

8 1,3 2

9 1,3,0 3

10 1,3,9,7 4

11 1,3,9,5,4 5

12 1,3,9 3

13 1,3,9 3

17 1,3,9,10,13,5,15,11,16,14,8,7,4,12,2,6 16

Tabla 1.

Observando las propiedades de los restos obtenidos cuando se dividen los números por ciertos enteros positivos y relacionando el algoritmo para la división, determinaremos cuáles de los enunciados propuestos son verdaderos y cuáles son falsos y por qué.

3^(3-1)≡1 (mód 3)

3^2≡1 (mód 3)

Enunciado verdadero.

3^(4-1)≡1 (mód 4)

3^3≡1 (mód 4)

Enunciado falso.

3^(5-1)≡1 (mód 5)

3^4≡1 (mód 5)

Enunciado verdadero.

3^(6-1)≡1 (mód 6)

3^5≡1 (mód 6)

Enunciado falso.

3^(7-1)≡1 (mód 7)

3^6≡1 (mód 7)

Enunciado verdadero.

3^(8-1)≡1 (mód 8)

3^7≡1 (mód 8)

Enunciado falso.

3^(9-1)≡1 (mód 9)

3^8≡1 (mód 9)

Enunciado falso.

3^(10-1)≡1 (mód 10)

3^9≡1 (mód 10)

Enunciado falso.

3^(11-1)≡1 (mód 11)

3^10≡1 (mód 11)

Enunciado verdadero.

3^(12-1)≡1 (mód 12)

3^11≡1 (mód 12)

Enunciado falso.

3^(13-1)≡1 (mód 13)

3^12≡1 (mód 13)

Enunciado verdadero.

3^(17-1)≡1 (mód 17)

3^16≡1 (mód 17)

Enunciado verdadero.

a p Residuos # Residuos

5 3 1,2 2

4 1 1

5 1 y 0 2

6 1,5 2

7 1,5,4,6,2,3 6

8 1,5 2

9 1,5,7,8,4,2 6

10 1,5 2

11 1,5,3,4,9 5

12 1 , 5 2

13 1,5,12,8 4

17 1,5,8,6,13,14,2,10,16,12,9,11,4,3,15,7 16

Tabla 2.

5^(3-1)≡1 (mód 3)

5^2≡1 (mód 3)

Enunciado verdadero.

5^(4-1)≡1 (mód 4)

5^3≡1 (mód 4)

Enunciado verdadero.

5^(5-1)≡1 (mód 5)

5^4≡1 (mód 5)

Enunciado falso.

5^(6-1)≡1 (mód 6)

5^5≡1 (mód 6)

Enunciado falso.

5^(7-1)≡1 (mód 7)

5^6≡1 (mód 7)

Enunciado verdadero.

5^(8-1)≡1 (mód 8)

5^7≡1 (mód 8)

Enunciado falso.

5^(9-1)≡1 (mód 9)

5^8≡1 (mód 9)

Enunciado falso.

5^(10-1)≡1 (mód 10)

5^9≡1 (mód 10)

Enunciado falso.

...