Rectas Y Paralelas

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Universidad Interamericana de Puerto Rico - Recinto de Ponce

Rectas paralelas y rectas perpendiculares en el plano cartesiano

Por: Enrique Díaz González

En el curso de Precálculo, aparece el tema de las ecuaciones de líneas rectas y las

condiciones para que dos rectas en el plano sean paralelas o perpendiculares. Estas condiciones

tienen que ver con las pendientes de las rectas. Sin embargo, en la mayoría de los textos se

omiten las demostraciones matemáticas para justificar esas condiciones. Este artículo pretende

dar una prueba más formal de dichas relaciones.

1) Rectas paralelas.

Recordemos que dos rectas son paralelas cuando están en un mismo plano y no se

intersectan. Por ejemplo, dos rectas verticales distintas son paralelas, porque cada una de

ellas es paralela al eje de las ordenadas. De la misma forma, dos rectas horizontales

distintas son paralelas, porque cada una de ellas es paralela al eje de las abscisas. Vamos

a probar la siguiente proposición:

Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.

a) Supongamos que L1 y L2 son dos rectas distintas no verticales con pendientes

m1  m2 . Hay que probar que L1 es paralela

m1 y m2 , respectivamente y que

con L2 . Si ambas rectas son horizontales, es decir, si tienen la misma pendiente

cero, entonces son paralelas porque cada una de ellas es paralela al eje de las

abscisas, es decir, al eje x. Si ninguna es vertical, sean y  m1 x  b1 ,

y  m2 x  b2

las ecuaciones de estas rectas, donde b1  b2 . Si estas ecuaciones tienen una

solución común ( x1 , y1 ) entonces sustituyendo en las ecuaciones anteriores y

restando ambas ecuaciones resulta que b1  b2 , ya que m1  m2 . Por lo tanto, las

Revista 360 No.7 2012

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rectas coinciden lo cual es absurdo porque las rectas son distintas. En

consecuencia, las rectas no tienen puntos en común y, por lo tanto, son paralelas.

b) Supongamos ahora que L1 y L2 son paralelas y no verticales. Vamos a suponer

que m1  m2 . Entonces resolviendo para las variables x, y en el sistema

y  m1 x  b1 , y  m2 x  b2 se tiene:

b1  b2 b1  b2

x y  m1  ( )  b1

,

m1  m2 m1  m2

Este valor de la variable “y” se obtuvo en la ecuación de L1 , pero estos valores

L2 . En efecto, sustituyendo en la segunda

también satisfacen la ecuación de

ecuación del sistema se tiene:

b1  b2 b b

 m1   b1  m2   1 2  b2

m1  m2 m1  m2

Multiplicando esta ecuación por m1  m2 , resulta

 m1b1  m1b2  m1b1  m2 b1  m2 b1  m2 b2  m1b2  m2 b2



m1  m2 m1  m2

Cancelando términos semejantes en el numerador, estas expresiones son iguales.

Por lo tanto, las rectas tienen un punto en común y esto contradice que son

paralelas. En consecuencia, m1  m2 y esto termina la demostración.

2) Rectas perpendiculares. Recordemos que dos rectas en un plano son perpendiculares si

se intersectan formando un ángulo recto. Vamos a probar la siguiente proposición:

Dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo si el producto de sus

pendientes es  1 .

a) Supongamos que las rectas no verticales L1

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