Linea Recta

Unidad II. La línea recta.

Índice.

1. Introducción…………………………………………………………………....3

2. Distancia entre dos puntos…………………………………………………...4

3. Pendiente……………………………………………………………………....7

4. Formas para obtener la ecuación de la recta……………………………...11

5. Conociendo dos puntos……………………………………………………...12

6. Conociendo un punto y la pendiente……………………………………….14

7. Formas de la ecuación de la recta………………………………………….16

8. Forma canónica (ecuación y gráfica)……………………………………….20

9. Forma general (ecuación y gráfica)………………………………………...21

10. Forma simétrica (ecuación y gráfica)………………………………………23

11. Transformación de la ecuación de la recta en sus diferentes formas….24

12. Perpendicularidad y paralelismo…………………………………………...27

13. Desigualdades lineales gráficas…………………………………………...29

14. Conclusiones…………………………………………………………………31

15. Bibliografía……………………………………………………………………32

Introducción

La historia de las matemáticas considera a René Descartes, el fundador del sistema matemático moderno, y por tanto el padre de la Geometría Analítica.

La Geometría Analítica surge debido a la gran necesidad para resolver problemas que involucraban tanto Algebra como Geometría Euclidiana, con el fin de crear una nueva rama que estudia las figuras geométricas, referidas a un sistema de coordenadas, por métodos algebraicos.

Uno de los tantos temas que estudia la materia de Geometría Analítica es la línea recta y sus diversos subtemas.

Llamamos línea recta al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1(X1, Y 1) y P2(X2,Y2) del lugar, el valor de la pendiente m calculado por medio de la siguiente fórmula resulta siempre constante

m = Y2 - Y1

X2 - X1 , X1 ≠ X2

En esta investigación se pretende tratar a fondo diversos tópicos en relación a Matemáticas, con el fin de que sean entendidos de manera rápida y precisa, para proceder a resolver problemas que surjan en la vida cotidiana.

Una vez entendidos los conceptos así como los diversos ejemplos de los temas, se podrá tener un amplio panorama para la aplicación en cualquier otra asignatura que se preste.

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos se define como el valor numérico o valor absoluto de la longitud del segmento rectilíneo que une esos dos puntos. Si representamos la distancia por d, podemos escribir:

d= P1 P2 = X2 – X1

o también

d= P2 P1 = X1 – X2

Ejemplo:

Hallar la distancia entre los puntos P1 (5) y P2 (-3).

Solución:

Las longitudes de los segmentos dirigidos son

P1 P2 = -3 -5 = -8

Y P2 P1 = 5 –(-3) = 8

Entonces para cualquiera de los dos segmentos dirigidos, la distancia está dada por:

d= -8 = 8 = 8

Distancia entre dos puntos dados.

Sean P1(X1, Y 1) y P2(X2,Y2) dos puntos dados cualesquiera. Se determina la distancia d entre éstos siendo d= P1 P2.

Por P1 P2 traemos las perpendiculares P1 A y P2 D a ambos ejes coordenados, y sea E su punto de intersección. Considerando el triángulo rectángulo P1 E P2 . Por el teorema de Pitágoras, se tiene que:

d2 = P1 P22 = P2 E 2 + EP1 2

En el sistema de coordenadas rectangulares, existe una relación que establece que a cada par de números reales, le corresponde un punto definido del plano, y a cada punto del plano, le corresponden un par de coordenadas (X,Y).

El plano cartesiano es utilizado, como un sistema de referencia para localizar puntos. Entre otra de estas funciones, radica en el cálculo de la distancia entre dos puntos o coordenadas.

Cuando se encuentran los puntos ubicados sobre las abscisas o eje de las X, la distancia entre estos, corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas, es decir, X2 – X1.

Cuando los puntos se encuentren sobre las ordenadas o eje de las Y, o en una recta paralela al eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas, Y2– Y1.

Por otro lado, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la siguiente relación:

d (A, B) = √ (X2 – X1)2 + (Y2 – Y1)2

Ejemplo:

Valores:

X1 = -2

X2 = 4

Y1 = 4

Y2 = 3

Fórmula:

d (A, B) = √ (X2 – X1)2 + (Y2 – Y1)2

Sustitución:

d (A, B) = √ ((4 - (- 2)) 2 + (3 – 4)2

Resolución:

d (A, B) = √ (4 +2) 2 + ( – 1)2

d (A, B) = √ (6) 2 + ( – 1)2

d (A, B) = √ 36 + (1) 2

d (A, B) = √ 37

Resultado:

√ 37

La fórmula anterior, tiene diversas funciones para solucionar problemas tales como:

 Calcular el perímetro de un triángulo u otras figuras geométricas.

 Comprobar que un triángulo es isósceles, si dos de las distancias miden lo mismo.

 Corroborar que un triángulo es rectángulo, aplicando para ello el teorema de Pitágoras a las distancias obtenidas al verificar que el cuadro de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

 Comprobar que un triángulo es equilátero, si sus tres lados son exactamente iguales.

Pendiente

Dos rectas al cortarse forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice. Por tanto, la expresión “el ángulo comprendido entre dos rectas”, es ambigua, ya que tal ángulo puede ser el a o bien su suplemento el β. Para hacer una distinción entre dos ángulos, consideramos que las rectas están dirigidas y luego se establece lo siguiente:

Se llama ángulo de dos rectas dirigidas al formato por dos rectas dirigidas al formato por los dos lados que se alejan del vértice. Así, el ángulo que forman las rectas dirigidas l1 y l 2, es el ángulo a. Sin embargo si la dirección de una de estas rectas, ejemplo l2, se invierte, el ángulo formado por las dos rectas es el ángulo suplementario β.

Si l1 y l2 son paralelos diremos que el ángulo comprendido entre ellas es de 0° cuando tienen la misma dirección, y de 180° cuando tienen direcciones opuestas.

Por otro lado se llama ángulo de inclinación de una recta el formado por la parte positiva del eje X y la recta, cuando ésta se considera dirigida hacia arriba.

Así, de acuerdo con las definiciones uno y dos, el ángulo de inclinación de la primera recta es a, y el de la segunda es a ´. Evidentemente, a puede tener cualquier valor comprendido entre 0° y 180°, es decir, su intervalo de variación está dado por:

0° ≤ a ≤ 180°

Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. La pendiente de una recta se designa comúnmente por la letra m. Por tanto, se puede describir:

m= tg a

Así, se ve que la pendiente puede tomar todos los valores reales. Si a es el agudo, la pendiente es positiva, como para la recta l, si a´ es obtuso, como para la recta l´, la pendiente es negativa. Cualquier recta que coincida o sea paralela al eje Y será perpendicular al eje X, y su ángulo de inclinación será de 90°. Como tg 90° no está definida, la pendiente de una recta paralela al eje Y no existe. Podemos establecer, por lo tanto, que toda recta perpendicular al eje X no tiene pendiente.

Si P1(X1, Y1) y P2(X2, Y2), son dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de la recta es

m = Y2 - Y1

X2 - X1 , X1 ≠ X2

Ejemplo:

Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos (1,6) y (5,-2).

Solución:

Esta recta se muestra a continuación:

m = 6 – (-2) = 8 = -2

1 - 5 - 4

Es importante tomar en cuenta las siguientes características:

- La pendiente es positiva, cuando la recta está inclinada hacia la derecha.

- La pendiente es cero cuando la recta es horizontal.

- La pendiente es negativa cuando la recta está inclinada hacia la izquierda.

- Conforme el valor absoluto de la pendiente es mayor, la recta está más inclinada.

- Una recta vertical no tiene pendiente.

Ejemplo:

Calcular la pendiente de la recta con los siguientes datos, ubicándolos en el plano cartesiano:

P (2, 7)

Q (-1,3)

Procedimiento:

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