RECTA PARALELA A UN PLANO

RECTA PARALELA A UN PLANO

Unarecta es paralela a un plano cuando la recta y elplanonotienenningúnpuntocomún.Paraqueunarectasea paralela a un plano es condición necesaria ysuficientequedicha recta, siendo exterior al plano, seaparalela a una recta contenida en el plano

La condición necesaria y suficiente (para que otra condición se cumpla o sea verdadera) es una relación entre dos proposiciones p y q. Por ejemplo, considerando la clase de figuras geométricas llamada paralelogramo, la condición "diagonales iguales" es una condición necesaria y suficiente para que la figura geométrica sea un rectángulo (es decir, para que el paralelogramo tenga todos sus ángulos interiores iguales). "Paralelogramo que tiene sus dos diagonales iguales" es una definición alternativa de rectángulo, debido a que es equivalente a "paralelogramo que tiene todos sus ángulos iguales". Es decir, de cualquiera de ellas se puede deducir la otra. (Se deja como ejercicio para el lector el hacer las deducciones.)

Pero veamos otro ejemplo. Consideremos la proposición "Si un cuadrilátero es rectángulo entonces es paralelogramo". "Paralelogramo" es condición necesaria para ser un rectángulo, y ser un rectángulo es condición suficiente para ser un paralelogramo.

Significado de la frase “condición necesaria y suficiente”

En la proposición condicional p  q, cuando la misma constituye una afirmación verdadera,

la proposición p se dice que es condición suficiente y la proposición q se dice que es necesaria.

Note que si al mismo tiempo la proposición p fuese condición necesaria y suficiente se tendría

una proposición de la forma p  q, conocida como bicondicional. Cuando una proposición

condicional p  q, es verdadera, siendo además p verdadera, se dice que es una implicación,

lo cual se interpreta diciendo que la ocurrencia de p asegura la ocurrencia de q. Note que

siendo p verdadera, el valor de verdad de la implicación depende del valor de verdad de q; si q

es verdadera, entonces la implicación p  q será verdadera.

Teorema 5: El ángulo θ formado por dos rectas que se cortan se obtiene a partir de la relación

, 1

1

1 2

1 2

2 1

 





 mm

mm

m m

tg donde m1 es la pendiente inicial y m2 es la pendiente final

correspondiente al ángulo θ.

Demostración: Ejercicio.

Corolario 1: La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas es que sus

pendientes sean iguales.

Previo a la demostración del corolario observemos que el enunciado del corolario puede

rescribirse diciendo: Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. Lo que

implica la demostración de un bicondicional.

Demostración: () Si las rectas r1, r2 son paralelas, por la definición 5 ellas forman ángulos

de 0º o 180º, en cualquier caso tg = 0. Por lo que, según teorema 5, m2 – m1 = 0 y por tanto

m2 = m1.

() Si m2 = m1, entonces m2 – m1 = 0, así, por teorema 5, tg = 0, con lo cual el resultado es

inmediato.

Corolario 2: La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares

entre sí, es que el producto de sus pendientes sean iguales a –1.

Demostración: () Si las rectas r1, r2 son perpendiculares, el ángulo entre ellas es 90º, por

teorema 5,

2 1

1 1 2

m m

mm

ctg





  . Como ctg90º = 0, entonces 1 + m1m2 = 0, de donde m1m2 = –

1.

() Si m1m2 = –1, por teorema 5, ctg = 0,

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