Reglas De Conteo

INTRODUCCION

Se sabe que la matemática están en casi todas las actividades diarias del ser humano,. Pero muchas veces la forma en que se presenta es impresionante, especialmente cuando puede ocurrir de muchas maneras.

En el presente trabajo se mostrara en forma general y con algunos ejemplos las reglas de conteo, las cuales podremos aplicar correctamente y conocer el número de maneras diferentes de cómo se pueden acomodar los elementos de un conjunto de acuerdo con algunas condiciones dadas.

OBJETIVOS

 APRENDER Y CONOCER LAS REGLAS DE CONTEO

 PODER APLICAR CORRECTAMENTE LAS REGLAS DE CONTEO

 DAR A CONOCER CASOS EN LOS QUE PUEDEN APLICARSE LAS REGLAS DE CONTEO

REGLAS DE CONTEO.

Al asignar probabilidades es necesario saber identificar y contar los resultados experimentales, si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Por ejemplo, al tirar un dado se obtiene solo 6 posibles resultados s = {1,2,3,4,5,6}, como se ha visto anteriormente, aun tirando dos datos se pueden obtener estos resultados: S = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }

Sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Que serían, 5 niños, 4 niños y una niña, 3 niños y 2 niñas, etc. Para facilitar el conteo veamos tres técnicas de conteo, la de multiplicación, la técnica de permutación y la de la combinación.

Principio Multiplicativo.

Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra cosa, entonces hay m x n formas de hacer ambas cosas, en otras palabras, el número total de formas de hacer ambas cosas sería m x n, lo que se puede extender a más de dos eventos. Para tres eventos (m,n,o) se tendría que el número total de eventos sería, de m x n x o.

En el ejemplo de los dados, un dado puede caer de 6 maneras diferentes, un segundo dado puede caer también de 6 maneras diferentes, por lo tanto ambos dados pueden caer de 6 x 6 (36) maneras diferentes, si fueran 3 datos entonces, las maneras en que podrían caer serían de 6 x 6 x 6 maneras diferentes (216).

Ejemplo 2:

Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?

Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número de modelos y n es el número de tipos de rin). Número total de arreglos = 3 x 2

No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:

Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48

Ejemplo 3:

En la etapa final de fútbol profesional de primera, cuatro equipos: Chivas (C), Benfica (B), Estudiantes (E), UNAM (U), disputan el primer y segundo lugar (campeón y subcampeón). ¿De cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dichos lugares?

m = 4 ; n = 3

porque el primer lugar puede ser ocupado por cualquiera de los 4 equipos, y el segundo lugar quedaría para los 3 lugares restantes, por ello el resultado sería: 4 x 3 = 12

Principio Aditivo

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas, ....., y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esta actividad puede llevarse a cabo de M + N + .... + W maneras o formas.

Ejemplo 1.

Una personas desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora W se presenta en dos tipos (8 u 11 kg), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semi automática, mientras que la lavadora E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kg), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora GE, se presenta en un solo tipo de carga, de 11 kg, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = Número de maneras de seleccionar una lavadora Easy = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = Número de maneras de seleccionar una lavadora GE = 1 x 2 x 1 = 2 maneras.

Por lo tanto la lavadora se puede escoger de 16 + 12 + 2 maneras diferentes.

Nota: es interesante notar que la compra de una lavadora responde a una frase "o compro W o compro E o compro GE", pero no se compran más de una.

Ejemplo 2.

Carlos Pérez desea ir a Can Cun o a Playa del Carmen en las próximas vacaciones de verano, para ir a Can Cun, tiene tres medios de transporte para ir hasta Mérida y 2 para ir de Mérida a Can Cun, y para ir a Playa del Carmen desde Mérida, tiene cuatro diferentes medios de transporte:

a) ¿Cuántas maneras diferentes, tiene Carlos para ir a Can Cun o a Playa del Carmen?

b) ¿Cuántas maneras diferentes, tiene Carlos para ir a Can Cun o a Playa del Carmen en viaje redondo, si no regresa por el mismo medio de transporte por el que se fue?

a) M = Maneras de ir a Can Cun = 3 x 2 = 6

N = Maneras de ir a Playa del Carmen = 3 x 4 = 12

por lo tanto M + N = 6 + 12 = 18 maneras

b) M = Maneras de ir y regresar de Can Cun = 3 x 2 x 1 x 2 = 12

N = Mnaeras de ir y regresar de Playa del Carmen = 3 x 4 x 3 x 2 = 72

Por lo tanto M + N = 12 + 72 = 84

Nota: ¿cómo determinar, cuando utilizar el principio aditivo y cuando el multiplicativo?

Cuando se trata de una sola actividad, que requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.

FACTORIAL DE UN NÚMERO

Es el producto de n por todos los naturales menores que él y se representa con el n!

n!=n•(n-1)!(n-2)•...•3•2•1

Ejemplo 1: hallar 6!

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Ejemplo 2: 4!

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

NOTA: Considerando que todos los productos tienen por lo menos dos factores, no tienen sentido los símbolos 0! Y 1!, pero para poder aplicar las fórmulas a todos los casos, se definen los números factoriales de 0 y de 1 como 0! = 1 y 1! = 1.

Permutaciones y Combinaciones.

El entendimiento de estos conceptos se puede lograr al definir a ambos, para establecer sus diferencias y de entender claramente cuando se puede utilizar una combinación o utilizar una permutación al momento de querer cuantificar los elementos de algún evento.

Combinación.- Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen dicho arreglo.

Permutación.- Es todo arreglo de elementos en donde interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituye dicho arreglo.

Ejemplo:

Suponga que en un salón de clases, existen 35 alumnos.

a) El maestro desea que tres de los alumnos lo ayuden en actividades tales como mantener el aula limpia o entregar material a los alumnos cuando sea así necesario.

b) El maestro desea que se nombre a los representantes del salón (Presidente Secretario y Tesorero).

a) Los elegidos son Daniel, Arturo y Rafael para limpiar el aula o entregar material (aunque pudieron haberse seleccionado a estos alumnos o a otros para realizar este trabajo), la pregunta obligada es ¿Es importante el orden de selección de los elementos que van a formar el grupo de tres personas?, y se nota que en este caso no tiene importancia, ya que lo único que interesaría es el contenido de cada grupo, o dicho de otra forma, ¿quiénes están en el grupo?, por tanto en este caso se trata de una combinación, lo que significa que las combinaciones nos permite formar grupo o muestras de elementos en donde lo único que interesa es el "contenido" (quienes o que conforman a los grupos o muestras) de los mismos.

b) Suponga que se han nombrado como representantes del salón a Daniel como presidente, a Arturo como Secretario y a Rafael como Tesorero, pero resulta que a alguien se le ocurre hacer los cambios que se muestran a continuación:

CAMBIOS

PRESIDENTE Daniel Arturo Rafael Daniel

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