SIMULACIÓN Y MÉTODOS DE MONTECARLO

5 SIMULACIÓN Y MÉTODOS DE MONTECARLO

La simulación es una técnica muy poderosa y ampliamente usada en para analizar y estudiar sistemas complejos.

Se puede definir a la simulación como la técnica que imita el funcionamiento de un sistema del mundo real cuando evoluciona en el tiempo. Esto se hace, por lo general, al crear un modelo de simulación. Un modelo de simulación comúnmente, toma la forma de un conjunto de hipótesis acerca del funcionamiento del sistema, expresado como relaciones matemáticas o lógicas entre los objetos de interés del sistema.

Se debe hacer notar que la simulación no es una técnica de optimización. Se emplea con más frecuencia para analizar preguntas tipo ¿qué sucede sí . .? es posible optimizar con la simulación, pero, en general, es un proceso tardado. También, la simulación puede ser costosa. Sin embargo, con la creación de lenguajes especiales para simulación, costos decrecientes de cómputo y avances en metodología de simulación, el problema del costo se hace cada vez menos importante.

Terminología básica

En la mayor parte de los estudios de simulación, se trata de simular un sistema. Por lo que se definirán varios términos relacionados con los sistemas:

Sistema

Un sistema es un conjunto de entidades que actúan e interactúan para la realización de un fin lógico.

Estado

El estado de un sistema es el conjunto de variables necesarias para describir la condición del sistema en un momento determinado.

Sistema discreto

Es aquel en el cual las variables de estado cambian sólo en puntos discretos o contables en el tiempo.

Sistema continuo

Un sistema continuo es aquel en el que las variables de estado cambian en forma continua a través del tiempo.

Modelo estático de simulación

Es una representación de un sistema en determinado punto en el tiempo.

Simulación dinámica

Es una representación de cómo evoluciona un sistema a través del tiempo.

5.1 Números aleatorios

A la técnica de utilización de una distribución de probabilidad para generar muestras aleatorias de un proceso, se le conoce como técnica de Montecarlo y al proceso para generar las observaciones muestrales de una distribución específica de probabilidad se le denomina generador de proceso.

Generación de números aleatorios

En cualquier experimento de simulación o de muestreo, existe la necesidad de un mecanismo que proporcione números aleatorios. La forma de obtener estos números puede ser muy variada y entre los primeros mecanismos empleados se tenían las ruletas, dados, cartas, etc.

Las características que definen a los números aleatorios es que cualquiera de ellos tiene la misma probabilidad de aparecer y cada número es estadísticamente independiente de los demás números de la secuencia.

Se requiere de un procedimiento matemático para generar números aleatorios y a través de la historia se han ido perfeccionando, entre los más conocidos se pueden citar:

J. Von Neumann

Se parte de un número dado de n cifras que se eleva al cuadrado y del resultado obtenido, que en general es un número de 2n cifras, se toman las n cifras de la parte central, que a su vez se vuelven a elevar al cuadrado, y así, sucesivamente. Una desventaja de este método es que tiende a degenerar rápidamente dependiendo del número inicial que se escoja.

Ejemplo

Suponer que se quieren generar números entre 0 y 999 y se escoge como número inicial 302, el cual produce la siguiente secuencia:

(302)2=091204 120

(120)2=014400 440

(440)2=193600 360

(360)2=129600 960

(960)2=921600 160

(160)2=025600 560

(560)2=313600 360

a partir de este último resultado se empieza a repetir un ciclo formado por los números 960, 160, 560, 360, con lo cual degenera la secuencia.

Productos centrales

Consiste en efectuar el producto entre dos números seguidos de la sucesión de números pseudoaleatorios y del resultado, tomar los dígitos de en medio para obtener el siguiente número de la sucesión. Se puede expresar de la manera siguiente

U (5.1)

Ejemplo: Generación de números aleatorios

Si se escoge arbitrariamente U0=1521 y U1=1815 se obtiene la siguiente secuencia

U2=1815*1521=02760615=7606

U3=7606*1815=13804890=8048

U4=8048*7606=61213088=2130

U5=2130*8048=01714224=7142

Lehmer

En 1951 sugirió que una secuencia de números pseudoaleatorios podría generarse mediante la relación

xi=axi-1 (módulo m) (5.2)

Greenberger

Se parte de una expresión general de la forma siguiente

Ui+1= aUi+c (módulo m) (5.3)

esta relación se lee diciendo que Ui+1 es congruente con aUi+c módulo m y significa que aUi+c se divide entre m y que el residuo que se obtenga es el valor de Ui+1.

Ejemplo:

Si se escoge U0=5, a=2, c=3 y m=15 se tiene la siguiente secuencia

U1=(2*5 +3) mód 15=13

U2=(2*13+3) mód 15=14

U3=(2*14+3) mód 15= 1

U4=(2*1 +3) mód 15= 5

U5=(2*5 +3) mód 15= 1

Que como se observa tiene un periodo de n=4.

A los números generados por algún procedimiento como los anteriores se les denominó como pseudoaleatorios, por considerar que no fueron generados estrictamente en forma aleatoria.

En Excel de Microsoft® se pueden generar el número suficiente de números aleatorios.

5.2 Métodos de Montecarlo

Para extraer al azar un elemento de una población descrita por la densidad de probabilidad, f(x), se procede como sigue:

a) Se dibuja la distribución de probabilidad acumulada:

y = F(x) = (5.4)

b) Por medio de algún artificio se elige un decimal aleatorio (con tantas cifras como se desee).

c) Se traza una recta horizontal por el punto del eje y correspondiente al decimal aleatorio obtenido en el inciso (b) hasta interceptar a la curva y=F(x).

d) Se obtiene el valor correspondiente al punto de intersección. Este valor se toma como un elemento de la muestra de valores x.

Se ilustra el procedimiento en la figura 5.1:

Figura 5.1 Muestreo aleatorio. Método de Montecarlo

El proceso antes mencionado no siempre es necesario llevarlo al detalle, ya que mediante los generadores de proceso de algunas distribuciones conocidas, es posible obtener muestras aleatorias mediante alguna función.

5.3 Generador de proceso uniforme

Para un generador de proceso uniforme se utilizan la función densidad y la función de distribución de la variable aleatoria de que se trate.

La función densidad para la distribución uniforme se define como sigue

P(x) = para a  x  b (5.5)

Gráficamente, esto tendría la forma que se muestra en la figura 5.2. Observar que todos los valores que se encuentran entre a y b tienen densidades iguales de 1/(b-a):

Figura 5.2 Distribución de probabilidad uniforme para el intervalo (a, b)

El procedimiento implica integrar la función densidad para el intervalo de valores; el procedimiento es como sigue:

P(x) =

Sustituyendo p(x) = 1/(b-a), entonces

P(x) =

=

=

por tanto,

P(x) = (5.6)

La gráfica de la función de distribución aparece en la figura 5.3:

Figura 5.3 Función de distribución de la distribución uniforme

En el procedimiento de muestreo para el método de Montecarlo, se obtiene una muestra de la función de distribución generando un decimal aleatorio, identificando la probabilidad asociada a aquél y eligiendo el valor correspondiente de la variable. En términos numéricos, se utiliza el mismo procedimiento para elaborar un generador de proceso. La técnica se denomina método de transformación inversa. El procedimiento implica igualar la variable aleatoria uniforme R (en donde R se encuentra entre cero y uno) a P(x) y despejar x:

R = P(x) =

R(b-a) = x-a

Finalmente x será:

x = a + R(b-a) (5.7)

Dada la ecuación 5.7 que es el generador de proceso para la distribución uniforme, es posible generar variables con distribución uniforme entre a y b, simplemente identificando a y b, generando un decimal aleatorio R y sustituyendo en la ecuación. Por ejemplo, para generar

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