Simulación Montecarlo

Introducción

La simulación es, por una parte, una manera económica y útil de experimentación. En muchas ocasiones, el científico o el técnico se encuentran con sistema reales cuyo funcionamiento desea controlar o mejorar. Un método habitual para alcanzar esos objetivos consiste en experimentar con el sistema real, si ello es posible, e intentar utilizar los resultados de la experimentación para conocer y mejorar el funcionamiento del sistema. En muchas ocasiones, sin embargo, tal experimentación es imposible o, aun siendo posible, éticamente delicada, o muy costosa, siendo conveniente disponer de algún método alternativo para ampliar el conocimiento del sistema real.

La Figura 1, muestra de forma esquemática el funcionamiento de un modelo de un determinado sistema real. Existen unas entradas, tanto estocásticas como deterministas, y unas salidas. El proceso de conversión de las entradas en salidas no es una caja negra ‘‘black box’’ como sería si en ese mismo tipo de figura se describiese el sistema real o incluso un prototipo del mismo. Por definición, las ecuaciones constitutivas del modelo; es decir, su especificación son conocidas, de modo que el proceso interno de transformación de las variables de entrada en variables de salida es conocido y fijo una vez construido el modelo, y generalmente establecido en forma de algoritmo.

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Figura 1: Representación esquemática de las ecuaciones lógico-matemáticas.

En ese sentido, los métodos de Montecarlo son métodos de simulación que usan números (pseudo) aleatorios para investigar el comportamiento de sistemas físicos y matemáticos y para otros tipos de cálculo.

Debido a que los algoritmos de este tipo deben repetir los cálculos un gran número de veces, estos métodos requieren el uso de computadores y de diversas técnicas de simulación.

Un algoritmo Montecarlo es un método numérico que se usa con frecuencia para atacar problemas matemáticos que no pueden ser resueltos de forma sencilla, por ejemplo a través del cálculo o por otros métodos numéricos. En muchos casos, su eficiencia respecto a otras técnicas numéricas aumenta con la dimensión del problema.

Estos métodos tienen una larga historia pero su uso se popularizó después de la Segunda Guerra Mundial, con el advenimiento de la computadora. El nombre, popularizado por algunos de los pioneros en el área como S. Ulam, E. Fermi, J. von Neumann y N. Metropolis, es una referencia al famoso casino en Mónaco. Ulam escribe en su autobiografía que el método recibió este nombre a sugerencia de Metropolis en honor a su tío, que era un jugador.

Una de las primeras aplicaciones exitosas del método Montecarlo en Física fue el estudio de las propiedades del neutrón por Enrico Fermi en 1930 El uso de métodos Monte Carlo requiere de grandes cantidades de números aleatorios.

Palabras clave: Montecarlo, simulación, integración numérica, estimación estadística, pseudoaleatorio, aleatorio.

Objetivos  

• Conocer y entender la técnica cuantitativa y estadística del método de Montecarlo mediante la simulación de modelos matemáticos, para el análisis del comportamiento de un sistema basado en componentes aleatorios.

• Ilustrar el uso de la simulación de Montecarlo para modelar comportamientos de aproximaciones, hallando el área bajo la curva (integración numérica).

• Implementar Scrips y hacer uso de la función montecarlo() en R para el análisis de problemas de simulación.

Capítulo 1

Simulación de Montecarlo

1. Antecedentes históricos

El método fue llamado así por el principado de Mónaco por ser “la capital del juego de azar”, al tomar una ruleta como un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Montecarlo data aproximadamente de 1944 con el desarrollo de la computadora electrónica. Sin embargo hay varias instancias (aisladas y no desarrolladas) en muchas ocasiones anteriores a 1944.

En el año 1949, en el Laboratorio de los Alamos se planteó un problema de difícil solución. Se trataba de determinar el recorrido de los neutrones en los diferentes medios. Una solución que recurriese a los procedimientos clásicos resultaría laboriosa y complicada. Los técnicos conocían los datos fundamentales que se necesitaban para resolver el problema; sin embargo, la dificultad surgía al tratar de relacionar los datos en una sola fórmula. Ulam y Neumann idearon una solución que esencialmente consistía en que una ruleta resolviera el problema propuesto. Se fueron agrupando las probabilidades de los distintos sucesos, obteniéndose una solución que quedaba dentro de la aproximación exigida por los técnicos.

Cuando al método empleado fue necesario darle un nombre se le denominó como “Montecarlo”. Sin embargo, la técnica matemática empleada era ya conocida con anterioridad.

En efecto, el descubrimiento de la técnica, de Montecarlo podemos hacerla retroceder a una época remota en que un matemático legendario observase por primera vez el camino seguido por un borracho. Supongamos que la probabilidad de dar pasos en cualquier dirección fuese la misma. El borracho puede dar los pasos en cualquier dirección de una manera, no previsible aunque casual. Se trata de determinar a qué distancia se encontrará del punto de partida después de haber dado n pasos, o también cuál será la distancia más probable al cabo de los n pasos. Se le denominó el problema del paseo aleatorio (caminatas al azar). Mediante una aplicación del muestreo aleatorio se resolvió este problema, pero pronto se encontró que el método podía extenderse a otro tipo de cuestiones y ofrecía grandes aplicaciones en la práctica.

Estimar tal distancia probable exigiría observar un gran número de borrachos en condiciones análogas, lo que resultaría difícil o poco práctico. Sin embargo, puesto que los pasos se dan al azar, podemos simular modelos de sus pasos mediante una tabla de números aleatorios y aproximarnos a la efectiva situación real. Con un gran número de pruebas simuladas podemos estimar la distancia probable después de n pasos.

1. ¿Qué es la Simulación de Montecarlo?

El término Montecarlo se aplica a un conjunto de métodos matemáticos que se empezaron a usar en los 1940s para el desarrollo de armas nucleares, favorecidos por la aparición de los ordenadores digitales modernos. Consisten en resolver un problema mediante la invención de juegos de azar cuyo comportamiento simula algún fenómeno real gobernado por una distribución de probabilidad (ejm. un proceso físico) o sirve para realizar un cálculo (ejm. evaluar una integral).

Más técnicamente, un Montecarlo es un proceso estocástico numérico, es decir, una secuencia de estados cuya evolución viene determinada por sucesos aleatorios. Recordemos que un suceso aleatorio es un conjunto de resultados que se producen con cierta probabilidad.

1. Fundamentos de la simulación de Montecarlo

Un método de Montecarlo es una técnica que implica el uso de números al azar y probabilidad para resolver problemas. La simulación por ordenador tiene que ver con el uso de modelos de computadora para imitar la vida real o hacer predicciones. Cuando se crea un modelo, tiene un cierto número de parámetros de entrada y unas cuantas ecuaciones que utilizan esos insumos para darle un conjunto de salidas (o de respuesta a las variables). Este tipo de modelo suele ser determinista, lo que significa que usted está obteniendo los mismos resultados sin importar cuántas veces se vuelve a calcular.

Simulación de Montecarlo es un método iterativo de la evaluación de un modelo determinista utilizando conjuntos de números aleatorios como entradas. Este método se utiliza a menudo cuando el modelo es complejo, no lineal, o implica algo más que un par de parámetros inciertos. Una simulación por lo general puede implicar a más de 10,000 evaluaciones de la modelo, una tarea que en el pasado sólo era práctica utilizando superordenadores.

El método de Montecarlo es uno de los muchos métodos para el análisis de propagación de la incertidumbre, donde el objetivo es determinar cómo la variación al azar, la falta de conocimiento, o el error afecta a la sensibilidad, el rendimiento o la fiabilidad del sistema que se está modelando.

La simulación de Montecarlo está clasificado como un método de muestreo debido a que las entradas son generadas aleatoriamente por las distribuciones de probabilidad para simular el proceso de toma de muestras de una verdadera población. Por lo tanto, tratamos de escoger una distribución de las entradas que más se coincide con los datos que ya tenemos, o mejor representa nuestro estado actual del conocimiento. Los datos generados a partir de la simulación se pueden representar como distribuciones de probabilidad (o histogramas) o se convierten en barras de error, las predicciones de fiabilidad, las zonas de tolerancia, y los intervalos de confianza. (Ver Figura 2).

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