Metodo Montecarlo

ESTADISTICA ESPAÑOLA

núm. 105, 1984, págs. 71 a 115

EL CONTROL DE PROYECTOS EN UN CONTEXTO ALEATORIO: APLICACION DEL METODO MONTECARLO

RESUMEN

por JUAN ANTONIO CAÑAS MADUEÑO

Departamento de Economía y Sociología Agrarias. ETSIA. Universidad de Cbrdoba

y RAFAELA DIOS PALOMARES

D®partamento de Estadística. ETSIA. Universidad de Cbrdoba

En este trabajo realizamos una aplicación del método de simulación Monte Carlo al control de proyectos en aquellos casos en los que algunas de las actividades en que se descompone la realización de una obra, presentan una duración de realización aleatoria. Para poder aplicar el método de simulación se han desarrollado unos programas de cálculo en lenguaje BA- SIC mediante los cuales se determinan las holguras de las actividades, así como el camino(s) crítico(s) con cada uno de los valores simulados para cada actividad con duracián de realización aleatoria. Los tipos de variables aleatorias contempladas en el trabajo son: variables continuas con distribu- ción de probabilidad de tipo Beta, y con distribución de probabilidades en histogramas de frecuencia; variables discretas cuya distribución se puede ajustar a una binomial negativa o bien a cualquier otra función de probabili- dad que se estudiara mediante su histograma de frecuencias. Realizados los cálculos para el número de generacionés deseado, se determina el índice de criticidad de las diferentes activídades.

Palabras clave: PERT, simulación Mante Carlo, lenguaje BASIC, distribu- ción Beta, distribución binominal negativa, camino crítico.

INTRODLICCIU^t

F-.tiTA[^ISTIC.A ^_^F'A!^(>I^A

ilna de las funciones del empresario como tal es la de t©mar decisiones ante las diversas situaciones yue se le presentan a lo larg,o del proceso de producción. La adopcic^n de una u otra decisión da lugar a unas cc^nsecuencias, posiblemente diferentes en cada caso, siendo también fur^ión del empresario el controlar y evaluar estos resulta- dos.

Actualmente se dispone de varios métodos que permiten analizar y evaluar las consecuencias de las decisiones empresariales de acuerdo con el grado de información que se tenga sobre las variables que intervienen en el problema, así como sobre la fiabilidad que le merezcan al empresario o responsabte de la decisión.

Una de las técnicas que se aplican en la programación y control de proyectos es el método ipERT, que permite determinar el camino crítico, así como el tiempo total de ejecucicín y los márgenes que pueden permitirse en cada tarea para que la fecha de terminacián de1 proyecto no se retrase. Sabido es, sin embargo, que las variables que intervienen en el modelo son los tiempos de duracic^n de cada tarea, cuya naturaleza es, en gran mayoría, estocástica.

Así, para hacer una buena modelizacián de la realidad y conseguir, por tanto, resultados fiables y aplicables empíricamente una vez tomada la decisián, es indispensa- ble iniroducir en el modelo la naturaleza aleatoria de aquellas variables cuya considera- cián como deterministicas implicaria errores sustanciales.

E1 PERT aleatorio tiene en cuenta esta aleatoriedad, pero can algunas simplificacio- nes, ya que sálo introduce en el modelo las varianzas de las variables, Por otro lado, la determinación de la varianza del tiempo total se basa en el Teorema Central del Límite, que se apoya en la hipótesis, que no siempre se curnple, de que el número de variables es muy grande.

El ideal, sin embargo, es modelar la realidad considerando el comportamiento aleato- rio de las vañables en toda su amplitud, esto es, introduciendo en el modelo la función de densidad de las mismas para llegar a determinar las funciones de densidad de las variables de decisíón que nos proporcionan la informacián más completa. Esto es io que se consigue aplicando fos métodos de simulación.

E1 objetivo del presente trabajo consiste precisamente en la aplicacic5n de las técnicas de simulación al métado PERT para la programacibn y el control de proyectos. Hemos construido a tal efecto un modelo de simulación utilizando el método Monte Carlo.

Uno de los problemas que se presentan es la determinación de las distribuciones que siguen las variables.

f-:[_ CONT^ROL. DE: PRC:)^ I^C-'IC)S

Con el fin de que el modelo sea lo más amplia posible, se ha diseñado considerando la posibilidad de que intervengan variables, tanto continuas camo discretas. Igualmente, teniendo en cuenta los problemas específicos yue se resuelven con este tipo de técnicas de control, hemos particularizado para las variables Beta y binomial negativa, por considerar que san las que mejor se ajustan a los tiempos de ejecución de las tareas del proyecto.

Para la resoíución del modela se ha elaborado y puesto a punto un programa de cálculo para un microcomputador cuya utilización resulta indispensable para aplicar los métodos de simulación.

Por último hacemos una aplicación de la metodalogía presentada a un caso práctico, que consiste en un proyecto, descompuesto en 18 actividades, de las cuales siete se consideran realizables en un tiempo fi jo, con lo que las variables que expresan sus tiempos de duración son determinísticas. Las otras 11 actividades, sin embargo, presen- tan en sus tiempos de realización una considerable aleatoriedad, motivo por el cual se resuelve el proyecto aplicando el método de simulación.

Una vez analizada la naturaleza de las actividades aleatorias, cuenta el modelo con cuatro variables discretas, siendo dos de ellas binomial negativa y siete continuas que se dividen en tres variables en histogramas de frecuencias y cuatro variables betas.

Los resultados obtenidos ofrecen una información completa de la natúraleza aleatoria del tiempo total de ejecución, así como de las holguras y del indice de criticidad de cada actividad del proyecto.

LA SIMULACI^N MONTE CARL(^ APLICADA AL PERT

La aplicación de los métodos de simulación Monte Carlo al método PERT viene a resolver, como ya se ha indicado, el problema originado por la aleatoriedad de algunas de las variables que intervienen en el modelo de control de proyectos.

De una manera básica y esquemática, la metodología consiste en resolver el proyecto

mediante el método PERT un número elevado de veces, de modo que cada vez tomen

las variables aleatorias un valor generado aleatoriamente según su propia función de

densidad. Se consigue así igualmente un número elevado de valores de las variables de

decisión que nos permitirá conocer su comportamiento representado en sus distribuciones

,. empir^cas.

E1 primer paso para piantear el modelo es el análisis de las variables para ver cuál es su naturaleza y determinar o ajustar su función de densidad o de probabilidad. Una

rn =

u + M(p + q} + h

p+ y+ 2

•q + h•!^

n+ y

cs 2

{P + 1)(q + 1

^ (p + a + 3) (p+ q + 2}^

E^STADIST[CA ESPA,!^O1_A

vez hecho esto la simulacián proporciona su metodología específica para la generacián aleatoria de las mismas.

Análisis de las variaóles

Las variables del modelo de cantrol de proyectos representan los tiempos de duración en la ejecución de las tareas o actividades que lo componen. D►ebido a esto tienen unas características determinadas.

Para realizar el análisis de las mismas se determina su d^stribución empfrica a partir de un númera de datos considerable, extraídos de proyectos de carácter similar, que se han realizado con anterioridad. E1 estudio de dicha distribucián nos permite, en algunos casos, ajustar a la misma una distribución teórica conocida, que as©ciamos a la variable en estudio.

La distribuci6n beta: En el caso de variables continuas es frecuente poder aj ustar, con suficiente rigor estadístico, distribuciones de tipo beta cuya función de densidad represen- ta fielmente el comportamiento de los tiempos de duracián de las actividades. Se caracte- riza esta distribución por estar su espacio muestral acotado entre dos valores a y b y tener la forma acampanada dependiendo de dos parámetros p y q. Su función de densidad es:

1 (x-u^{h-x)4

- para a ^ x<_ h

^^F' + ^ + ^ + ^ ^ (h - a ^P+y+ ^

La determinación de !a función beta que mejor se ajusta a una distribucián empírica dada, sp rea;=?-s estimando los parámetros de posición y de dispersión de dicha distribu- ción e,-r.píric;- , w^sto es, ta media, la moda y la varianza y relacionándolos con las de la función beta. :;_.to nos permitirá estimar los parámetros ^►y y de esta última, de la siguiente manera:

A

Sean m. M y t^2 los estimadores de la distribución empírica y rn. M y a^ los de la fur^ciónbeta^3(p,r^)deextremosayh.

Dado que en la función beta se cumplen las relaciones

}(h „ u)2

^rr =

.

M-

2

^-

^^ + y + ?

ct • y + h- p

p+ y

(p + 1)(y +

1)(h - u)2

^ 1_ CONTRQL DE PROYFC'TOS 75

podemos calcular h y y, dados c^ y h, mediante las expresiones ^, + M(p + y) + h

(p + q + 3) (p + y + 2)a

Lu hi^i^miu^ nekat!►^u: En el análisis de las variables discretas se ha observado que varias de ellas deben su compartamiento aleatorio a fenómenos atmosféricos o bien a averías de maquinarias, que, en suma, se traducen en ocasionar que los días de trabajo sean útiles o no útiles.

Analicemos una tarea del proyecto que requiera T, días útiles para su terminación. Si suceden fenómenos que provaquen la ocurrencia

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