Secciones cónicas

Secciones conicas:

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas intersección entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.

¿Por qué se llaman secciones conicas?

Se le dice cónicas, por hacer referencia a las figura base (por así decirlo) que es el cono, y cumple con la característica de generarse de un vertice a cualquier figura en la base.

Clasificación:

En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:

• β < α : Hipérbola

• β = α : Parábola

• β > α : Elipse

• β = 90º: Circunferencia

Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:

• Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).

• Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).

• Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.

• cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).

Circunferencia:

La circunferencia podemos definirla como una línea curva cerrada que consta de la sucesión de puntos equidistantes de un punto llamado centro. El término equidistar significa que están a la misma distancia. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman una superficie llamada círculo.

Formula:

Parábola:

Denominamos parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. Entonces la parábola es el conjunto de puntos del plano que está a la misma distancia de un punto, su foco, y de una recta fija, su directriz

Formula:

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma .

La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma .

Formula general :

Elipse:

Una elipse es una curva ovalada que se asemeja a un círculo alargado". Una definición más precisa sería la siguiente:

"Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano cuya distancia a dos puntos fijos en el palo tienen una suma constante. Los puntos fijos son los focos de la elipse. La recta que une los focos es el eje focal. El punto sobre el eje focal que está en el punto medio entre los dos focos es el centro. Los puntos donde la elipse interseca a su eje son los vértices de la elipse.

Formula:

Hipérbola:

Es un conjunto de puntos con coordenadas (x,y) en un plano cartesiano cuya diferencia de sus distancias a dos puntos fijos colineales en el plano es constante. Estos puntos fijos reciben el nombre de focos de la hipérbola, y la línea recta sobre la cual están localizados los focos recibe el nombre eje focal o eje mayor. El punto medio entre los focos, de coordenadas (h,k), recibe el nombre de centro y a los puntos donde la hipérbola interseca al eje focal se les denomina vértice. A la recta que pasa por el centro, y que es perpendicular al eje focal, recibe el nombre de eje conjugado. A las dos curvas que forman la hipérbola se les llama ramas. La hipérbola tiene dos rectas inclinadas denominadas asíntotas, a las cuales las ramas de la hipérbola

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