Secciones cónicas
estrellitas3Tutorial19 de Abril de 2013
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D.R.© Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Eugenio Garza Sada 2501 Sur, Col. Tecnológico, Monterrey, N.L. México. 2011
Matemáticas III
Módulo IV. Secciones cónicas
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Introducción al módulo
En este módulo conocerás las características de las ecuaciones de grado dos, es decir aquellas
que representan las secciones cónicas: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola. Además,
descubrirás cómo las puedes encontrar plasmadas en situaciones de la vida real.
Competencias del módulo
Las competencias que desarrollarás en este módulo son las siguientes:
• Definir las secciones cónicas: circunferencia, parábola, elipse e hipérbola.
• Identificar las características de cada una de las secciones cónicas
• Aplicar los conceptos de las secciones cónicas en situaciones de la vida real.
Revisa a continuación las unidades que componen este módulo:
Unidad 1. Secciones cónicas y la circunferencia
Unidad 2. La parábola
Unidad 3. La elipse
Unidad 4. La hipérbola
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Unidad 1. Secciones cónicas y la circunferencia
Introducción a la unidad
En esta unidad estudiaremos las características generales de las secciones cónicas y
profundizaremos en una de ellas, la circunferencia.
Competencias de la unidad
Las competencias que desarrollarás en esta unidad son las siguientes:
• Definir la ecuación general de segundo grado.
• Definir la circunferencia e identificar sus elementos.
• Identificar la ecuación general de una circunferencia.
• Dada la ecuación estándar de la circunferencia, identificar el centro y el radio.
• Obtener la ecuación general de la circunferencia a partir de su ecuación estándar.
Revisa a continuación los temas que componen esta unidad:
Tema 1. Secciones cónicas
Tema 2. Circunferencia
Tema 3. Características de la circunferencia
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Tema 1. Secciones cónicas
¿Sabes qué tienen en común una circunferencia, una parábola, una elipse y una
hipérbola?
Fuente: http://math2.org/math/algebra/es-conics.htm
A estas gráficas se les conoce como secciones cónicas, pues resultan de la intersección de un
cono recto y el plano, como lo muestra la figura.
En el módulo anterior estudiamos la función cuadrática de la forma y = ax2 + bx + c, y concluimos
que su gráfica es una parábola.
Este módulo comenzaremos analizando la ecuación general de segundo grado.
Más adelante analizaremos que, dependiendo del valor de los coeficientes, la gráfica de esta
ecuación puede ser una circunferencia, una parábola, una elipse o una hipérbola.
La ecuación general de segundo grado está definida por:
donde los coeficientes A, B, C, D y E R enteros y no pueden ser cero
todos al mismo tiempo
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Tema 2. Circunferencia
Como observaste en el tema anterior, la circunferencia se logra
si realizamos un corte horizontal en un cono, de tal manera que
es la figura más sencilla y con la que seguramente estás más
familiarizado, es por ello que comenzaremos estudiándola.
Si amarraras una piedra a un cuerda y le dieras vuelta por arriba
de tu cabeza, la figura que formarías es una circunferencia. En
situaciones viales es muy común observarlas en las rotondas o
glorietas. En los pasteles también es común ver esta forma.
La ecuación general de la circunferencia es:
Ecuación general de la circunferencia
donde los coeficientes A, B, C, D y E R enteros.
Además los coeficientes A y B deben de ser iguales y no pueden ser cero al mismo
tiempo.
¿Cuál es una circunferencia?
Analiza las siguientes ecuaciones generales y establece cuáles pueden representar a una
circunferencia:
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Ecuación general
Sí o No
Justificación
Sí
A y B son iguales
No
A y B NO son iguales
No
A y B NO son iguales, B = 0
Sí
A y B son iguales
Tema 3. Características de la circunferencia
Definiciones de circunferencia
La circunferencia es:
• La sección cónica que resulta de la intersección de un cono recto circular y un
plano paralelo a la base del cono.
• El lugar geométrico de un conjunto de puntos P(x, y) que equidistan de un punto
fijo llamado centro.
Elementos de la circunferencia
Los principales elementos de la
circunferencia son:
Centro. Es el punto fijo.
Radio. Es el valor constante al que se
encuentra cualquier punto P sobre la
circunferencia del centro (h, k).
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La ecuación estándar de la circunferencia.
La ecuación estándar de la circunferencia está definida por:
donde h y k representan la coordenada del centro de la circunferencia C(h,k) y r su radio.
Observa cómo, a partir de la ecuación estándar, puedes saber cuál es el centro y el radio de la
circunferencia.
Ejemplos
Dadas las siguientes ecuaciones estándar de una circunferencia, establece cuál es su centro y su
radio:
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Ecuación estándar
Centro
Radio
Observa que:
(3,2)
;
Los valores de h y k son positivos ya
que el signo negativo es de la forma
de la ecuación.
(-1,5)
;
Los valores de h y k son contrarios al
signo que muestran en la ecuación,
esto es porque
.
Recuerda que el signo negativo es de
la forma de la ecuación.
(0,-1/2)
;
El valor de k es contrario al signo que
muestra en la ecuación, esto es
porque
, recuerda
que el signo negativo es de la forma
de la ecuación. Por otro lado, el valor
de h es 0 (cero), esto es porque
.
(0,0)
;
Los valores de h y k son 0 (cero), esto
es porque
, sin
embargo, el valor de
, por lo
que al tratar de obtener su raíz
cuadrada, se obtiene un número
imaginario, de tal manera que NO se
forma una circunferencia.
(2/3,-3)
;
Los valores de h y k son contrarios al
signo que muestran en la ecuación,
esto es porque:
,
recuerda que el signo negativo es de
la forma de la ecuación. Sin embargo,
como el valor de
, no se logra
formar una distancia a partir del
centro (llamado radio), entonces se
forma un punto.
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Ahora comprenderemos el proceso para transformar una ecuación de su forma
estándar a su forma general. Analizaremos varios ejemplos para comprender este proceso.
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