Secciones cónicas

Secciones Cónicas

Historia: El matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.

Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.

En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672).

Concepto: Son aquéllas secciones que resultan al intersecar una superficie cónica de revolución con un plano. curvas intersección entre un cono y un plano. Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse como la intersección de un cono circular con un plano que no contenga al vértice del cono. una sección cónica es cualquier curva producida por la intersección de un plano y un cono recto triangular. Se llama Sección Cónica al conjunto de puntos que forman la intersección de un plano con un cono de revolución de dos mantos.

Elementos de las secciones conicas

- distancia focal.- en el caso de elipses e hipérbolas, es la distancia entre sus dos focos.

- focos.- el foco de una curva es un punto (o puntos) singular, respecto del cual se mantienen constantes determinadas distancias relacionadas con los puntos de dicha curva.

Radio vector.- es la distancia desde un punto de la cónica hasta su respectivo foco.

- centro.- es el punto que se encuentra en medio de una cónica.

- eje focal.- es la recta que pasa por el foco (o focos).

- vertice.- en cónicas son los puntos de intersección de la cónica con su eje focal.

- eje mayor.- es el segmento que tiene por extremos a los vértices.

- eje menor.- es la recta mediatriz del eje mayor a cuyos extremos se les suele llamara covértices.

- diametro.- el diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

- excentricidad: la excentricidad es un parámetro que determina el grado de desviación de una sección cónica con respecto a una circunferencia

Aplicaciones: Las curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitación universal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si están relativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.

También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada.

"Los planetas en su movimiento alrededor del Sol describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol" (Primera Ley de Kepler, 1609).

Las aplicaciones principales de las parábolas incluyen su como reflectores de luz y ondas de radio. Los rayos originados en el foco de la parábola se reflejan hacia afuera de la parábola, en líneas paralelas al eje de la parábola. Aun mas el tiempo que tarda en llegar cualquier rayo al foco a una recta paralela a la

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