Sintesis Ecuaciones

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

PUNTO D

x dv(x) + v(x) = 1 + v(x)

dx v(x)

dv(x) = 1

dx xv(x)

dv(x) v(x) = 1 v(x)

dx xv(x)

dv(x) v(x) = 1

dx x

dv(x) v(x) dx

=

1 dx

dx x

2

v(x) log(x) + c

2

PUNTO E

En la sección 1.3 explicamos que muchos modelos matemáticos, como los del crecimiento

demográfico, la desintegración radiactiva, el interés compuesto continuamente, l

las reacciones químicas, un líquido que sale por un agujero en un tanque, la velocidad

de caída de un cuerpo, la rapidez de memorización y la corriente en un circuito en

serie, son ecuaciones diferenciales de primer orden. Ahora ya podemos resolver

algunas de las ecuaciones diferenciales, lineales y no lineales, que surgen con frecuencia

en las aplicaciones. El capítulo termina con el tema de los sistemas de ecuaciones

diferenciales de primer orden como modelos matemáticos.

71

72 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

ECUACIONES LINEALES

w Crecimiento y decaimiento exponencial n Periodo medio

n Datación con radiocarbono w Ley de Newton del enji-iamiento w Mezclas

n Circuitos en serie n Tirmino transitorio H Término de estado estable

Crecimiento y decaimiento El problema de valor inicial

dzx -- kx, x(to) = xo,

en donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos

fenómenos donde intervienen crecimiento o decrecimiento (desintegración). En la sección

1.3 describimos que, en biología, se ha observado que en cortos periodos la tasa de crecimiento

de algunas poblaciones (como las de bacterias o de animales pequeños) es proporcional a la

población presente en cualquier momento. Si conocemos una población en cierto momento

inicial arbitrario, que podemos considerar definido por t = 0, la solución de (1) nos sirve para

predecir la poblacion en el futuro -esto es, para t > 0-. En física, un problema de valor

inicial como las ecuaciones (1) puede servir de modelo para calcular aproximadamente la

cantidad residual de una sustancia que se desintegra o decae en forma radiactiva. Esa ecuación

diferencial (1) también puede describir la temperatura de un objeto que se enfría. En química,

la cantidad residual de una sustancia en ciertas reacciones se apega a la ecuación (1).

La constante de proporcionalidad k, en (l), se puede hallar resolviendo el problema de

valor inicial, con una determinación de x en un momento tl > to.

Crecimiento bacteriano

Un cultivo tiene una cantidad inicial NO de bacterias. Cuando t = 1 h, la cantidad medida

de bacterias es $0. Si la razón de reproducción es proporcional a la cantidad de bacterias

presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microorganismos.

SOLUCIÓN Primero se resuelve la ecuación diferencial

$=kN

sujeta a N(O) = NO. A continuación se define la condición empírica N( 1) = $Vs para hallar k,

la constante de proporcionalidad.

Con ello, la ecuación (2) es separable y lineal, a la vez. Cuando se escribe en la forma

podemos ver por inspección que el factor

...