Sintesis Ecuaciones

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN

PUNTO D

x dv(x) + v(x) = 1 + v(x)

dx v(x)

dv(x) = 1

dx xv(x)

dv(x) v(x) = 1 v(x)

dx xv(x)

dv(x) v(x) = 1

dx x

dv(x) v(x) dx

=

1 dx

dx x

2

v(x) log(x) + c

2

PUNTO E

En la sección 1.3 explicamos que muchos modelos matemáticos, como los del crecimiento

demográfico, la desintegración radiactiva, el interés compuesto continuamente, l

las reacciones químicas, un líquido que sale por un agujero en un tanque, la velocidad

de caída de un cuerpo, la rapidez de memorización y la corriente en un circuito en

serie, son ecuaciones diferenciales de primer orden. Ahora ya podemos resolver

algunas de las ecuaciones diferenciales, lineales y no lineales, que surgen con frecuencia

en las aplicaciones. El capítulo termina con el tema de los sistemas de ecuaciones

diferenciales de primer orden como modelos matemáticos.

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72 CAPíTULO 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

ECUACIONES LINEALES

w Crecimiento y decaimiento exponencial n Periodo medio

n Datación con radiocarbono w Ley de Newton del enji-iamiento w Mezclas

n Circuitos en serie n Tirmino transitorio H Término de estado estable

Crecimiento y decaimiento El problema de valor inicial

dzx -- kx, x(to) = xo,

en donde k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos

fenómenos donde intervienen crecimiento o decrecimiento (desintegración). En la sección

1.3 describimos que, en biología, se ha observado que en cortos periodos la tasa de crecimiento

de algunas poblaciones (como las de bacterias o de animales pequeños) es proporcional a la

población presente en cualquier momento. Si conocemos una población en cierto momento

inicial arbitrario, que podemos considerar definido por t = 0, la solución de (1) nos sirve para

predecir la poblacion en el futuro -esto es, para t > 0-. En física, un problema de valor

inicial como las ecuaciones (1) puede servir de modelo para calcular aproximadamente la

cantidad residual de una sustancia que se desintegra o decae en forma radiactiva. Esa ecuación

diferencial (1) también puede describir la temperatura de un objeto que se enfría.

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