Sistema De Ecuaciones

SISTEMA DE ECUACIONES

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático consistente en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

La forma genérica de un sistema de ecuaciones algebraicas y incógnitas es la siguiente:

donde son funciones de las incógnitas. La solución, perteneciente al espacio euclídeo , será tal que el resultado de evaluar cualquier expresión con los valores de dicha solución, verifique la ecuación.

SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

Se considera un sistema formado por dos ecuaciones con dos incógnitas

f(x,y)=0

g(x,y)=0

Para resolver este tipo de sistema se utilizan los siguientes métodos:

MÉTODO DE SUSTITUCION

El método de sustitución consiste en resolver cualquier ecuación del sistema por una de las variables y luego sustituir el valor de esa variable en la otra ecuación

Para resolver un sistema de ecuaciones por sustitución es necesario seguir los siguientes pasos:

1. Se despeja una incógnita (variable) en cualquier ecuación.

2. Se sustituye la expresión encontrada en la otra ecuación.

3. Se despeja y encuentra el valor de una variable.

4. Se sustituye el valor encontrado en el paso tres en la ecuación del paso 1

Ejemplo:

2x + y = 11

x + 3y = 18

1. Se despeja una variable en cualquier ecuación.

y = 11 – 2x

2. Se sustituye la expresión encontrada en la otra ecuación.

x + 3( 11 - 2x ) = 18 3.

3. Se resuelve y encuentra el valor de una variable.

x + 33 - 6x = 18

x - 6x = 18 – 33

- 5x = -15

x= 15/5

x= 3

4. Se sustituye el valor encontrado en el paso tres en la ecuación del paso 1.

y = 11 - 2 ( 3 )

y = 11 – 6

y = 5

La solución es el par ordenado (3,5)

MÉTODO DE IGUALACIÓN

El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases del proceso son las siguientes:

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones

2. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.

3. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadas de primer paso.

Ejemplo:

x + y = 600

y = 2x

Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita en la otra ecuación, con lo que tendremos:

y = 2x

⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200

y = 600 - x

Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada la y, con lo que tendremos:

y = 2x ⇒ y = 400

MÉTODO DE REDUCCION

Consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signo contrario. A continuación se suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: una consiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la otra.

El proceso por fases.

1. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,

2. Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior.

3. Se

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