Sistema Metrico

INTRODUCCIÓN

El sistema métrico decimal tuvo un origen muy diferente, ya que sus unidades no fueron impuestas por el uso común, sino propuestas por un grupo de científicos, que buscaron sencillez en las relaciones entre las diferentes unidades, y definieron patrones prácticos e invariables.

El sistema métrico decimal es un sistema de unidades basado en el metro, en el cual los múltiplos y submúltiplos de una unidad de medida están relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10.

Son muchas las profesiones que emplean el sistema métrico decimal en la actualidad para realizar cada una de sus actividades y la Ingeniería Civil es una de ellas. Es de suma importancia que los estudiantes dominen el sistema internacional de medidas para realizar operaciones tales como la interpretación y confección de plano, estimación de presupuestos y análisis de estructuras, entre otras. Son muchos los países que han adoptado el sistema métrico decimal a excepción de unos pocos que todavía utilizan el sistema inglés.

Para complementar esta investigación será importante que el estudiante investigue las medidas de conversión que permiten utilizar la equivalencia de las unidades del sistema métrico.

Una de las primeras necesidades matemáticas además de contar es medir. Las primeras unidades de longitud en las civilizaciones primitivas estaban basadas en el cuerpo humano. De ahí que se empleasen unidades como el pie o el palmo. En siglo XVI, el matemático flamenco Simón Stevin fue el primero en proponer un sistema decimal de medidas. En 1790, la Asamblea Nacional Francesa designó una comisión encargada de establecer un sistema decimal de medidas y así surgió el Sistema Métrico Decimal.

En otro orden de idea, al tocar el tema de las razones y proporciones, términos estos también conocidas desde muy antiguo por los griegos. Relacionamos que una razón geométrica indica una relación entre dos magnitudes. Tanto en la vida diaria como en las operaciones comerciales es necesario comparar cosas, ya que algunos enunciados que involucran números, tienen un significado muy restringido si no se comparan con otros o con otras cantidades.

Debido a la importancia de estos temas y los subtemas que cada uno de ellos implica a continuación se desarrollara cada uno de ellos con su componente, dando ejemplos prácticos y sencillos para la mejor comprensión. Dando la conclusión de la importancia de estos temas con sus respectiva bibliografía.

SISTEMA MÉTRICO

El Sistema Métrico Decimal es un sistema de unidades en el cual los múltiplos y submúltiplos de cada unidad de medida están relacionadas entre sí por múltiplos o submúltiplos de 10.

El sistema métrico decimal es un sistema de medición cuya unidad de medida es el metro, lo cual quiere decir que en base a los múltiplos y submúltiplos de éste, se desprenden las demás unidades de medida.

Así por ejemplo, tenemos que un múltiplo del metro serán todas las unidades de medida mayores a éste, como por ejemplo, el kilómetro, hectómetro, decímetro, y sus submúltiplos serán las unidades de medida menor a un metro, tales como el decímetro, centímetro y milímetro.

Éste sistema de medición fue implantado por la Primera Conferencia General de Pesos y Medidas en 1889 y se establecieron distintos nombres para la medición de cada unidad de medida. Así quedó establecido lo siguiente:

1. Como unidad de medida de longitudes se adoptó el metro.

2. Como unidad de medida de masas se adoptó el kilogramo.

3. Como unidad de medida de capacidades se adoptó el litro.

Previo al Sistema métrico decimal conocemos el Sistema numérico decimal. Su base es 10 y emplea diez caracteres o dígitos diferentes desde el 0 al 9.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Todos los números están formados por el anterior +1. 9+1=10 diez es la base y a partir de aquí y usando los mismos números llegamos al 19+1=20, 29+1=30 y así sucesivamente. Los números así pueden llegar a formar incalculables cifras, que para su lectura pasamos a llamar:

Centena de

millar Decena

de millar Unidad

de millar Centena Decena Unidad

100.000 unidades 10.000 unidades 1.000 unidades 100 unidades 10 unidades 1

La cifra 1.000.000 (Un millón) tendrá 10 centenas de millar (10*100.000) y así sucesivamente hacia arriba.

Y dependiendo de la situación de cada número en la cifra, tendrá el valor correspondiente. Ejemplo.

125.647, esta cifra (Ciento veinticinco mil seiscientos cuarenta y siete) tendrá el siguiente valor según el sistema numérico:

Una centena de millar 1*100.000 100.000

Dos decenas de millar 2*10.000 20.000

Cinco unidades de millar 5*1000 5.000

Seis centenas 6*600 600

Cuatro decenas 4*10 40

Siete unidades 7*1 7

: Que sumados da: 125.647

Hasta ahora son números enteros. Menor que la Unidad los llamamos Decimales, que separados por una coma se llaman décimas, centésimas, milésimas etc. Ejemplo:

7, 325, esta cifra (Siete coma trescientas veinticinco milésimas) tendrá el siguiente valor según el sistema numérico: 7 unidades + 3 décimas + 2 centésimas + 5 milésimas. Podemos decir que esta cifra tiene tres decimales, como hemos visto en los problemas comerciales, para aplicar el redondeo y dejarlo ajustado al céntimo de euro, como ejemplo práctico.

Sistema métrico decimal.

El sistema métrico decimal se basa en el metro como unidad y sus múltiplos multiplicados por diez y sus submúltiplos o decimales divididos por diez.

Son cinco las medidas del Sistema métrico decimal

Medida Unidad Abreviatura

Longitud metro m.

Superficie metro cuadrado m2

Volumen metro cúbico m3

Capacidad litro l.

Peso gramo g.

Medidas de Longitud:

Escala de equivalencias de Unidades de medida de longitud

Unidad Abreviatura Valor Expresado en forma de potencia de 10

Múltiplos Kilómetro Km. 1.000 m. 1 * 103

Hectómetro Hm. 100 m. 1 * 102

Decámetro dam. 10 m. 1 * 101

Unidad metro m. 1 m.

Submúltiplos decímetro dm. 0,1 m. 1 * 10-1

centímetro cm. 0,01 m. 1 * 10-2

milímetro mm. 0,001 m 1 * 10-3

Estas unidades aumentan y disminuyen de diez en diez.

Tanto las grandes cifras como las pequeñas, al tener gran cantidad de dígitos, es muy útil el uso en forma abreviada. Para ello, se convierten en un producto con potencias de 10. Ejemplos:

6.000 = 6 * 103 ; 60.000 = 60 * 104 ; El número de ceros se corresponde con el número exponente de 10.

125.000 = 125 * 103; 35.000.000 = 35 * 106.

Si el número es decimal menor que uno, los decimales se corresponden con el exponente de 10 con signo negativo. Ejemplos:

0,006 = 6 * 10-3; 0,000000125 = 125 * 10-9;

Ejemplos: Expresar las siguientes longitudes en metros mediante una potencia de 10:

Longitudes Valor en metros. Expresado en forma

de potencia de 10

6 km. 6 * 1000 = 6.000 6 * 103

8 hm. 8 * 100 = 800 8 * 102

7 dam 7 * 10 = 70 7 * 101

800 dam. 800 * 10 = 8.000 8 * 103

70 dm. 7 * 0,1 = 7 7*10-1

30 dm. 30 * 0,1 = 3 3 * 10-1

25 mm. 25 * 0,001 = 0,025 25 * 10-3

6 mm.. 6 * 0,001 = 0,006 6 * 10-3

Ejemplos: Expresar en metros cada una de los siguientes complejos. Se ha situado en una tabla bajo las abreviaturas que se irán memorizando:

km. hm. dam. m dm. cm. mm. Resultado

0,63 8 6 1.436 m.

6 9 3 693 m.

5 6 8 55,8 m.

0,4 3 30 10 m.

1 6 3 1630 m.

0,6 0,4 1 650 m.

3 3,2 0,4 3324 m.

2 65 38 26,88 m

0,63 630 m.

0,4 4 m.

0,6 600 m.

0,4 40 m.

3,2 320 m.

Medidas de superficie:

Escala de equivalencias de Unidades de medida de superficie

Unidad Abreviatura Valor Expresado en forma de potencia de 10

Kilómetro cuadrado Km2 1.000.000 m2 106

Hectómetro cuadrado Hm2 10.000 m2 104

Decámetro cuadrado dcm2 100 m2 102

metro cuadrado m2 1 m2

decímetro cuadrado dm2 0,01 m2 10-2

centímetro cuadrado cm2 0,0001 m2 10-4

milímetro cuadrado mm2 0,000001 m2 10-6

Estas unidades aumentan y disminuyen de 100 en 100.

(1 dcm2 son 100 metros cuadrados y un cuadrado de 10 metros de lado)

(1 dm2 son 100 centímetros cuadrados y un cuadrado de 10 centímetros de lado)

Ejemplo de sistema métrico decimal:

1) Fijemos la atención en los cuadros coloreados.

Si nos dan una medida en decímetros cuadrados (dm2) y la multiplicamos por 0,01 tendremos los dm2 convertidos en metros cuadrados (m2).

En sentido inverso, si nos dan una medida en metros cuadrados (m2) y la dividimos por 0,01, tendremos los metros cuadrados convertidos en decímetros cuadrados (dm2).

Este juego de multiplicar por los valores de la tabla en sentido horizontal y dividir por los valores en sentido vertical se aplica a cualquiera de las medidas.

2) Convertir 4.000 cm2 a hectómetros cuadrados (Hm2), a decámetros cuadrados (Dm2) y a milímetros cuadrados (mm2)

4.000 • 0,000001 = 0,004 Hm2

4.000 • 0,0001 = 0,4 Dm2

4.000 • 10.000 = 40.000.000 mm2

También podemos hacerlo dividiendo por los valores en sentido vertical:

Para no que no se preste a confusión, debemos señalar que, como norma, se aconseja lo siguiente:

Para convertir una magnitud grande a otra más pequeña, se haga una multiplicación.

Para convertir una magnitud pequeña a otra más grande, se haga una división.

3) Convertir 4 Km2 a m2.

Entre Km2 y m2 hay tres lugares, entonces hacemos 4 • 1.000.000 = 4.000.000 m2 (las separan tres lugares, ponemos dos ceros por cada lugar, son seis ceros).

En el caso de las medidas de volumen (Km3, Hm3, Dm3, m3, dm3, cm3 y mm3) usaremos múltiplos de diez agregando tres ceros por cada lugar que las separa.

1 2 3 4 5 6 7

Km3 Hm3 Dm3 m3 dm3 cm3 mm3

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños.

Los números se escriben como un producto:

Siendo:

Un número real mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente.

Un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

La notación científica utiliza un sistema llamado coma flotante, o de punto flotante en países de habla inglesa y en algunos hispanohablantes.

Escritura

100 = 1

101 = 10

102 = 100

103 = 1 000

104 = 10 000

105 = 100 000

106 = 1 000 000

107 = 10 000 000

108 = 100 000 000

109 = 1 000 000 000

1010 = 10 000 000 000

1020 = 100 000 000 000 000 000 000

1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

10 elevado a una potencia entera negativa –n es igual a 1/10n o, equivalentemente 0, (n–1 ceros) 1:

10–1 = 1/10 = 0,1

10–2 = 1/100 = 0,01

10–3 = 1/1 000 = 0,001

10–9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001

Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 puede ser escrito como 1,56234×1029, y un número pequeño como 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939 kg (masa de un electrón) puede ser escrito como 9,10939×10–31kg.

Operaciones matemáticas con notación científica

Suma y resta

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes (o restar si se trata de una resta), dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como se necesite para obtener el mismo exponente.

Ejemplos:

2×105 + 3×105 = 5×105

3×105 - 0.2×105 = 2.8×105

2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 = (tomamos el exponente 5 como referencia)

= 0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 = 3,14 ×105

Multiplicación

Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.

Ejemplo:

(4×1012) × (2×105) =8×1017

División

Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.

Ejemplo: (48×10-10)/(12×10-1) = 4×10-9

Potenciación

Se eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes.

Ejemplo: (3×106)2 = 9×1012.

Radicación

Se debe extraer la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de la raíz.

MEDIDAS DE SUPERFICIE

La unidad fundamental para medir superficies es el metro cuadrado, que es la superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado.

Otras unidades mayores y menores son:

MEDIDA SIMBOLO EQUIVALENCIA

Kilometro cuadrado Km2 1 000 000 m2

Hectómetro cuadrado Hm2 10 000 m2

Decámetro cuadrado Dam2 100 m2

Metro cuadrado M2 1 m2

Decímetro cuadrado Dm2 0 .01 m2

Centímetro cuadrado Cm2 0 .0001 m2

Milímetro cuadrado Mm2 0.000001 m2

Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 100 más que la anterior.

Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos pares de ceros como lugares haya entre ellas.

Ejemplos de conversión de medidas

1 Pasar 1.5 hectómetros cuadrados a metros cuadrados:

Tenemos que multiplicar (porque el hm2 es mayor que el m2) por la unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay dos lugares entre ambos.

1.5 • 10 000 = 15 000m2

2 Pasar 15 000 mm2 a m2:

Tenemos que dividir (porque el mm2 es menor que el m2) por la unidad seguida de seis ceros, ya que hay tres lugares entre ambos.

15 000 l: 1 000 000 = 0.015 m2

PESO Y VOLUMEN

El Peso Volumétrico o Peso Volumen se calcula multiplicando las dimensiones del paquete (Alto x Ancho x Profundidad), y el resultado se divide entre 166. Los datos del Alto/Ancho/Profundidad del Paquete vienen en la descripción del producto bajo el título de “Productos de Dimensiones”.

En AEROPAQ si el paquete pesa menos de 70 libras, solo pagarás por su peso en libras no por el peso volumétrico.

Ejemplo:

Si el paquete pesa 20 Libras, y mide 12” pulgadas de ancho, 15” de alto y 42” de profundidad, el cálculo del Peso Volumen sería como sigue:

Como el paquete es de menos de 70 libras solo estará pagando por 20 libras en lugar de 46. Si el paquete llegara a pesar sobre las 70 libras realizadas este cálculo, se pagaría por la cantidad de libras volumétricas resultantes.

RAZONES Y PROPORCIONES

Una razón entre dos cantidades es una comparación entre las cantidades que se realiza mediante un cociente a: b, y se lee a esa b.

Por ejemplo, si las edades de Carlos y Francisco son 12 y 15 años, entonces la razón entre sus edades es:

12: 15 o. Si simplificamos la fracción obtenemos:

Se denomina proporción a la igualdad de dos razones. Por ejemplo, la igualdad entre las razones anteriores:

Es una proporción, lo que se puede constatar porque los productos cruzados son iguales: 12• 5 = 4• 15

Por lo tanto, la propiedad fundamental de las proporciones es:

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos variables están en proporcionalidad directa si su cociente permanece constante:

K es la constante de proporcionalidad.

El gráfico de dos variables en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen del sistema de coordenadas. Analizando el gráfico se visualiza que si una magnitud aumenta, la otra también aumenta.

Ejemplo:

Un vehículo en carretera tiene un rendimiento de 16 km por cada litro de bencina. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en un viaje de 192 km?

Se forma la proporción entre las variables distancia – consumo de bencina (si aumenta la distancia, entonces se deduce que el consumo aumenta, por lo tanto son directamente proporcionales).

Ocupando la propiedad fundamental de las proporciones obtenemos que:

Entonces,

16/1 = 16 (constante) y 192/12 = 16 (constante)

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante:

K es la constante de proporcionalidad.

El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola. Analizando el gráfico se visualiza que a medida que una magnitud aumenta, la otra magnitud disminuye.

Ejemplo:

Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros?

La relación entre el número de obreros – tiempo es de proporcionalidad inversa, ya que si trabajan más obreros, entonces se demorarán menos tiempo en terminar el trabajo. Aplicando la propiedad de las proporciones inversas, el producto entre las variables es constante:

Entonces, 3 x 5 = 15 (constante) y 4 x 3,75 = 15(constante)

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

La proporcionalidad compuesta permite relacionar variables mediante proporcionalidad directa y/o proporcionalidad inversa. Para resolver ejercicios de este tipo, primero se debe dilucidar qué proporcionalidad existe entre cada par de variables. Posteriormente, se debe determinar la constante de proporcionalidad que nos permitirá determinar si son proporcionales o inversamente proporcionales.

Ejemplo:

Se necesitan 20 obreros para pavimentar 2 km de camino en 5 días. ¿Cuántos obreros pavimentarán 5 km en 10 días?

a) En primer lugar, determinaremos qué tipo de proporcionalidad existe entre las variables.

Sean: obreros (O) – longitud del camino (L):

Estas dos variables están en proporcionalidad directa, ya que entre más obreros, más km de camino se pavimentarán, por lo tanto: = contante

b) Por otra parte, las variables obreros (O) – tiempo (T) están en proporcionalidad inversa respecto de la cantidad de km por pavimentar, ya que entre más obreros, menos tiempo se demorarán en pavimentar el camino.

Por lo tanto, O• T = constante.

De lo anterior se deduce que: = contante

Aplicando esta constante de proporcionalidad a los datos dados, tenemos que:

Multiplicando cruzado en esta proporción y despejando x obtenemos:

x = 25 obreros Entonces, se requieren 25 trabajadores para pavimentar 5 km de camino en 10 días.

PORCENTAJE

El porcentaje es una proporcionalidad directa en que se considera la totalidad como un 100%.

Por ejemplo, decir que el precio de un artículo ha subido 5% significa que se ha incrementado 5 partes de un total de 100. En términos fraccionarios, se dice que ha subido la 5/100 parte.

Cuando calculamos el porcentaje de un número, podemos hacerlo directamente ocupando el concepto de fracción. Por ejemplo, el 12% de 600 es:

El cálculo de porcentaje también se puede realizar a través de una proporcionalidad directa:

Es bastante útil utilizar este método para resolver problemas de porcentaje relacionados con ganancia y pérdida.

Por ejemplo

El precio de un chaleco durante una oferta ha bajado de $15.000 a $13.500.

¿Qué % de descuento se le aplicó? En este caso, se considera el precio inicial ($15.000) como el 100%. De lo que disminuyó: $15.000 – $ 13.500 = $ 1.500, se requiere saber qué porcentaje es del precio original, por lo tanto:

Veamos ahora otro ejemplo:

¿Qué % es 0,2 de 4?

En este caso, la totalidad es 4 (el 100%), de modo que planteamos la proporción:

INTERÉS SIMPLE

Tiene que ver con el precio del dinero. Si alguien pide un préstamo debe pagar un cierto interés por ese dinero. Y si alguien deposita dinero en un banco, el banco debe pagar un cierto interés por ese dinero.

Componentes del préstamo o depósito a interés

En un negocio de préstamo o depósito a interés aparecen:

El capital, que es el monto de dinero inicial, prestado o depositado.

La tasa, que es la cantidad de dinero que se paga o se cobra por cada 100 en concepto de interés; también llamada tanto por ciento.

El tiempo, durante el cual el dinero se encuentra prestado o depositado y genera intereses.

El interés, que es la cantidad de dinero cobrado o pagado por el uso del capital durante todo el tiempo. El interés, como precio por el uso del dinero, se puede presentar como interés o simple como interés compuesto.

El interés simple se calcula y se paga sobre un capital inicial que permanece invariable. El interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Dicho interés no se reinvierte y cada vez se calcula sobre la misma base.

En relación a un préstamo o un depósito mantenido durante un plazo a una misma tasa de interés simple, los cálculos de cualquier de esos elementos se realizan mediante una regla de tres simples. Es decir, si conocemos tres de estos cuatro elementos podemos calcular el cuarto:

El interés (I) que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial (C), al tiempo (t), y a la tasa de interés (i):

Esto se presenta bajo la fórmula: I = C • i • t

Donde i está expresada en tanto por uno y t está expresada en años, meses o días.

Tanto por uno es lo mismo que.

Entonces, la fórmula para el cálculo del interés simple queda:

Si la tasa anual se aplica por años.

Si la tasa anual se aplica por meses

Si la tasa anual se aplica por días

Recordemos que cuando se habla de una tasa de 6 por ciento (o cualquier porcentaje), sin más datos, se subentiende que es anual.

Ahora, si la tasa o porcentaje se expresa por mes o por días, t debe expresarse en la misma unidad de tiempo.

Veamos algunos ejercicios:

Ejercicio Nº 1

Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25.000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.

Resolución:

Aplicamos la fórmula

Pues la tasa se aplica por años.

Que es igual a I = C • i • t

En la cual se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06

I = 25.000 • 0,06 • 4 = 6.000

Respuesta

A una tasa de interés simple de 6% anual, al cabo de 4 años los $ 25.000 han ganado $ 6.000 en intereses.

Ejercicio Nº 2

Calcular el interés simple producido por 30.000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %.

Resolución:

Aplicamos la fórmula

Pues la tasa se aplica por días.

Que es igual a I = C • i • t

En la cual se ha de expresar el 5 % en tanto por uno, y se obtiene 0,05

Respuesta

El interés simple producido al cabo de 90 días es de 369,86 pesos

Ejercicio Nº 3

Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, 970 pesos. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año?

Resolución:

Aplicamos la fórmula

Pues la tasa se aplica por años.

Que es igual a I = C • i • t

En la cual se ha de expresar el 2 % en tanto por uno, y se obtiene 0,02

Nótese que aquí conocemos el interés y desconocemos el capital.

Reemplazamos los valores:

Despejamos C:

Respuesta

El saldo medio (capital) anual de dicha cuenta fue de 48.500 pesos.

Ejercicio Nº 4

Por un préstamo de 20.000 pesos se paga al cabo de un año 22.400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?

Resolución:

Como conocemos el capital inicial y el capital final (sumados los intereses) podemos calcular el monto de los intereses, haciendo la resta.

22.400 − 20.000 = 2.400 pesos son los intereses cobrados

Aplicamos la fórmula

Pues la tasa se aplica por años.

Que es igual a I = C • i • t

Despejamos i:

Recordemos que i es la tasa expresada en tanto por uno ,por lo cual debemos multiplicar por cien para obtener la tasa en tanto por ciento:

0,12 • 100 = 12

Respuesta

La tasa de interés anual es del 12 %.

Ejercicio Nº 5

Un capital de 300.000 pesos invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 12.000 pesos. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido?

Resolución:

Se subentiende que la tasa es 8 % anual, pero no sabemos el tiempo durante el cual ha estado invertido el capital.

Podemos usar la fórmula

Suponiendo que la tasa (anual) se ha aplicado por año:

Reemplazamos los valores:

Calculamos t

Respuesta

El tiempo durante el cual el capital ha estado invertido es de 0,5 año (medio año); es decir, 6 meses.

También pudimos calcular pensando en que la tasa anual de 8 % se aplicó durante algunos meses:

Reemplazamos los valores:

Calculamos

Ahora despejamos t

Respuesta

El tiempo durante el cual el capital ha estado invertido es 6 meses.

INTERES COMPUESTO

El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un capital inicial (C) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial; es decir, se capitalizan, produciendo un capital final (Cf).

Para un período determinado seria

Capital final (Cf) = capital inicial (C) más los intereses.

Veamos si podemos generalizarlo con un ejemplo:

Hagamos cálculos para saber el monto final de un depósito inicial de $ 1.000.000, a 5 años plazo con un interés compuesto de 10 % (como no se especifica, se subentiende que es 10 % anual).

Paso a paso resulta fácil calcular el interés sobre el depósito inicial y sumarlo para que esa suma sea el nuevo depósito inicial al empezar el segundo año, y así sucesivamente hasta llegar al monto final.

Resulta simple, pero hay muchos cálculos; para evitarlos usaremos una fórmula de tipo general:

En inversiones a interés compuesto, el capital final (Cf), que se obtiene a partir de un capital inicial (C), a una tasa de interés (i), en un tiempo (t), está dado por la fórmula:

Recordemos que i se expresa en forma decimal ya que corresponde a.

Y donde t corresponde al número de años durante los cuales se mantiene el depósito o se paga una deuda.

Como corolario a esta fórmula:

A partir de ella, puesto que el interés compuesto final (I) es la diferencia entre el capital final y el inicial, podríamos calcular la tasa de interés (i):

Sacamos factor común C:

También podemos calcular la tasa de interés despejando en la fórmula de Cf:

En los problemas de interés compuesto i y t deben expresarse en la misma unidad de tiempo efectuando las conversiones apropiadas cuando estas variables correspondan a diferentes períodos de tiempo.

Periodos de interés compuesto

El interés compuesto no se calcula siempre por año, puede ser semestral, trimestral, al mes, al día, etc. ¡Pero si no es anual debería informarse!

Así, si la fórmula del interés compuesto se ha deducido para una tasa de interés anual durante t años, todo sigue siendo válido si los periodos de conversión son semestres, trimestres, días, etc., solo hay que convertir éstos a años.

Por ejemplo, si i se expresa en tasa anual y su aplicación como interés compuesto se valida en forma mensual, en ese caso i debe dividirse por 12. En seguida, la potencia t (el número de años) debe multiplicarse por 12 para mantener la unidad mensual de tiempo (12 meses por el número de años).

Si los periodos de conversión son semestrales, i se divide por 2 ya que el año tiene dos semestres (lo cual significa que los años los hemos convertido a semestres), por lo mismo, luego habrá que multiplicar la potencia t (el número de años) por 2 (el número de semestres de un año):

Suponiendo una tasa anual de 10%, hacemos del siguiente modo: Será igual a

Si los periodos de conversión son trimestrales, i se divide por 4 ya que el año tiene 4 trimestres (lo cual significa que los años los hemos convertido a trimestres) por lo mismo, luego habrá que multiplicar la potencia t (el número de años) por 4 (el número de trimestres que hay en un año).

Del siguiente modo:

Será igual a

En general, en todos los casos donde haya que convertir a semestres, trimestres, meses, o días se multiplica por n semestres, trimestres, meses o días el 100 de la fórmula que es igual a . La potencia t (en número de años) se debe multiplicar por el mismo valor de n, en cada caso, así, suponiendo una tasa anual de 10%:

Ejercicio Nº 1

Averiguar en qué se convierte un capital de 1.200.000 pesos al cabo de 5 años; y a una tasa de interés compuesto anual del 8%.

Resolución:

Aplicando la fórmula

Reemplazamos con los valores conocidos:

En tasa de interés compuesto Capital inicial

Tiempo en años (t) = 5

Respuesta:

El capital final es de 1.763.194 pesos.

Ejercicio Nº 2

Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10 % se ha convertido en 1.583.945 pesos. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente.

Resolución:

Aplicando la fórmula

Reemplazamos con los valores conocidos:

Capital final (Cf) = 1.583.945

En tasa de interés compuesto

Tiempo en años (t) = 7

Despejando C:

Respuesta:

Redondeando la cifra resultante, el capital inicial fue de 800.000 pesos.

Ejercicio Nº 3

Calcular la tasa de interés compuesto anual que se ha aplicado a un capital de 1.500.000 pesos para que al cabo de 4 años se haya convertido en 2.360.279 pesos.

Resolución:

Aplicando la fórmula

Reemplazamos los valores conocidos:

Capital inicial (C) = 1.500.000

Capital final (Cf) = 2.360.279

Tiempo en años (t) = 4

Reemplazamos con los valores conocidos:

Despejamos (1 + i)4

Redondeamos a 0,12 y multiplicamos por 100 (recuerda que i siempre se expresa como 0,12 • 100 = 12 %

Respuesta:

La tasa de interés compuesto anual ha sido de 12 %.

Ejercicio Nº 4

Digamos que pretendemos tener $2.000.000 dentro de 5 años. Si el banco paga una tasa de 10% anual ¿cuánto necesitamos como capital inicial?

Aplicando la fórmula

Reemplazamos con los valores conocidos:

Capital final (Cf) = 2.000.000

Tasa de interés compuesto

Tiempo en años (t) = 5

Reemplazamos con los valores conocidos:

Respuesta:

Un capital inicial de $ 1.241.842,64 crecerá hasta $ 2.000.000 si lo invertimos al 10% durante 5 años.

Otro ejemplo

En general, si conocemos el capital final o valor futuro y queremos conocer el capital inicial o valor presente: Como sabemos que si multiplicamos un valor presente (C) por (1 + i) t nos da el valor futuro o capital final (Cf), podemos dividir directamente el capital final (Cf) por la tasa de interés compuesta (1 + i) t para obtener el valor presente o actual.

Veamos un caso:

¿Cuánto hay que invertir ahora para tener $10.000.000 dentro de 10 años al 8% de interés?

A partir de la fórmula

Reemplazamos por los valores conocidos

Respuesta:

Entonces, $ 4.631.989 invertido al 8% durante 10 años dan $10.000.000.

CONCLUSION

Medir es sin duda una de las actividades que realizamos con mayor frecuencia en lo cotidiano de la vida; ya sea cuando pesamos frutas en el supermercado, cuando relatamos un acontecimiento ocurrido con ciertos días de antelación, cuando queremos conocer la distancia que hay entre dos ciudades, e incluso cuando compramos ropa y nos preguntan qué talla tenemos. Todos estos parámetros en los cuales están expresados estas medidas, es lo que conocemos como sistema métrico decimal.

El sistema métrico decimal es un sistema de medición cuya unidad de medida es el metro, y en base a los múltiplos y submúltiplos de éste, se desprenden las demás unidades de medida. A partir del año 1889 se establecieron distintos nombres para la medición de cada unidad de medida. Así quedó establecido lo siguiente:

* Como unidad de medida de longitudes se adoptó el metro

* Como unidad de medida de masas se adoptó el kilogramo

* Como unidad de medida de capacidades se adoptó el litro.

Ahora bien, para establecer una relación entre las medidas de magnitudes medibles, utilizamos las razones y proporciones, las cuales las resolvemos por medio de una regla de tres, bien sea directa, inversa o combinada, para encontrar el valor real de un término cuando se conoce tres valores de una ecuación determinada.

La proporcionalidad está basada en el principio de porcentaje en el cual el que más tenga aporta la mayor cantidad, dándole el sentido de justicia a mayor pertenencia mayor porcentaje.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

html.rincondelvago.com

www.es.wikipedia.org

Www, primaria.aulafacil.com

Www, monografías.com

www.escolar.com

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