Sistemas Axiomatico

SISTEMAS AXIOMATICOS DE LA GEOMETRIA

Un sistema axiomático es aquel que, a partir de un cierto número de proporciones que se presuponen, evidentes. Conocidas como axiomas y mediante deducciones lógicas genera nuevas proporciones cuyo valor de verdad es también lógico, acepta sin prueba ciertas proposiciones como axiomas o postulados, y en derivar luego de esos axiomas todas las demás proposiciones del sistema, en calidad ya de teoremas. Los axiomas constituyen los cimientos del sistema, los teoremas son las superestructuras, y se obtienen a partir de los axiomas sirviéndose, exclusivamente de los principios de la lógica. La principal características de un sistema axiomático es que si puede demostrarse de alguna manera de la verdad de los axiomas, quedan automáticamente garantizadas tanto la verdad como la consistencia mutua de todos los teoremas.

Lo característico del sistema axiomático como realización de la idea de cálculo en disponer de un conjunto de enunciados o formulas que se admiten sin demostración y a partir de los cuales se obtienen todas las demás afirmaciones de la teoría, las cuales se llaman teoremas. Y las formulas aceptadas sin discusión son axiomas o postulados. El conjunto de axiomas, mas la definición de enunciado o formula del sistema, definición que precede al enunciado de los axiomas y el conjunto de las reglas para la obtención de teoremas a partir de los axiomas ‘reglas de transformación’ constituyen la base primitiva del sistema.

La Geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores, para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo xx otro sistema axiomático, este ya completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no solo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos.

Esto significa que las palabras punto, recta y plano deben perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas al del modelo tradicional

TIPOS DE SISTEMAS AXIOMATICOS

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