LA GEOMETRÍA ELEMENTAL DEL PLANO COMO SISTEMA AXIOMÁTICO

LA GEOMETRÍA ELEMENTAL DEL PLANO COMO SISTEMA AXIOMÁTICO

(2da Parte)

Definición: Rectas paralelas contenidas en un mismo plano son aquellas que no tienen puntos en común, esto  equivale a decir que son coplanarias y su intersección es vacía.

Si dos rectas son cortadas por una tercera recta, a ésta tercera recta se le conoce como recta transversal. Gráficamente  se forman, entre otros, los ocho ángulos que se indican:

[pic 1]

Figura 1

Los ángulos 1 y 5 se llaman correspondientes así como también ∠2 y ∠6, ∠3 y ∠7, además de ∠4 y ∠8. (Ver definición formal en la pág. 80 del Geltner)

Los ángulos 3 y 5 se llaman alternos internos. También son alternos internos ∠4 y ∠6. Los ángulos1 y 7 se llaman alternos externos igual que ∠2 y ∠8. (Ver definición formal en la pág. 80 del Geltner)

Por comodidad y para abreviar nuestra exposición adoptaremos como postulado que en una situación como la de la figura 1, dos ángulos correspondientes cualesquiera son congruentes si y sólo si las rectas son paralelas.

Postulado 6. – Los ángulos correspondientes congruentes si y sólo si las rectas cortadas por una transversal  son  paralelas.

Teorema  6.-   a) Dos rectas cortadas por una transversal son paralelas, si y sólo si los ángulos alternos internos son congruentes.

                       b) Dos rectas cortadas por una transversal son paralelas, sí y sólo sí los ángulos alternos externos son congruentes.

Demostración. Se deja como ejercicio, se sugiere para la demostración utilizar el dibujo anterior, y en base  a él escribir lo dado, lo que se desea demostrar. Luego haga una demostración.

Postulado 7.- (Postulado de Euclides)  Por un punto exterior a una recta pasa una única  recta paralela a ella.

Ejercicio 5.- Por un punto exterior a una recta construir la paralela a ella. (Ver construcciones elementales pág. 25 del Geltner)

Teorema 7.-  La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es igual a la medida de un ángulo llano.[pic 2]

Demostración: Por C trazamos una paralela

 a la recta por A y B (ello es posible por el

Axioma 7) Consideremos ahora los ángulos

∠1 y ∠2. Puesto que ∠1 y ∠CAB son alternos

Internos resulta ∠1 ≃ ∠CAB. De igual forma se tiene que ∠2 ≃ ∠CBA y así tenemos que m∠CAB + m ∠ACB + m ∠CBA =  m∠1 + m∠ACB + m∠2 = 180°.

Aquí se muestra un a demostrar, usted podría proponer una demostración utilizando el esquema proposiciones- razones.

Teorema 8.- La suma de las medidas de dos ángulos interiores de un triángulo es igual a la medida del suplemento del tercero. (Ver pág. 88 del Geltner)

Demostración: Si el triángulo tiene vértices A, B y C, por el teorema anterior se tiene que: m∠A + m∠B + m∠C = 180°. De aquí obtenemos que m∠A + m∠B = 180°- m∠C y 180°- m∠C es la medida del suplemento de ∠C.

Igual que en el teorema anterior, usted puede proponer una demostración utilizando el esquema proposiciones- razones.[pic 3]

Este teorema resulta interesante referido a una figura.

Observe que si prolongamos AB y por B trazamos una [pic 4]

Paralela BE a AC tenemos:  ∠CBD es el suplemento ∠B, [pic 5][pic 6]

∠A ≡ ∠1 por ser ángulos  correspondientes entre las paralelas AC y BE y la transversal AB. Además  ∠C ≡ ∠2 por ser alternos internos (¿cuáles paralelas y cuál transversal?). [pic 7][pic 8][pic 9]

Nota además que  m∠1 + m∠2 es la medida del suplemento de ∠B y que

m∠CBD = m∠A + m∠C.

Como ejercicios adicionales puede demostrar los teoremas 9 y 10.

Teorema 9.- En todo triángulo isósceles la bisectriz del ángulo exterior al ángulo desigual es paralela a la base.

Definición: Un Rombo es un paralelogramo con lados adyacentes congruentes.

Teorema 10.- Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en el punto medio.

Definición: Se llama mediatriz de un segmento al conjunto de puntos que equidistan de sus extremos.

Ejercicio 6.- a) Construir, con regla y compás, la mediatriz de un segmento.

                     b) Construir, con regla y compás, la bisectriz de un ángulo.

Ejercicio 7.- Hacer los ejercicios del 1 al 25 de las pág. 84 – 86 del Geltner. Para el ejercicio 13 usar que la medida de un ángulo es un número positivo. No hacer los ejercicios 18 y 23.

xEjercicio 8.- Hacer los ejercicios del 1 al 9 de las pág. 88 y 89 del Geltner.

Semejanza de triángulos

Razones y proporciones

Definición: Se llama razón al cociente de dos números (o dos cantidades expresadas en la misma unidad), en donde el denominador es diferente de cero.

Escribimos la razón como a/b, o también a : b, expresiones que sólo tienen sentido si b ≠ 0.

La razón es una forma de comparar dos números o cantidades.

Note que distinguimos entre números y cantidades. Aquí llamamos cantidad al resultado de la medida de alguna magnitud y como tal vienen expresadas en “unidades”. Por ejemplo si medimos una velocidad no tiene sentido decir que vale 5, pero sí 5 Km/h. Note que 80 kilómetros por hora y  80 millas por hora representan velocidades muy diferentes.  

Ejemplo 1.- Halle la razón de a a b en los siguientes casos:

1. a = 12 y b = 3
2. a = 12 cms y b = 4 m.

Solución: En el caso i)   [pic 10][pic 11] = [pic 12][pic 13], luego la razón de a a b es 3 (a es el triple de b), mientras que la razón de b a a es 1/3 (b es un tercio de a).

En el caso ii)  como las cantidades a y b no están expresadas en las mismas unidades, debemos comenzar por expresar ambas cantidades en la misma unidad. Expresando todo en centímetros: A = 12 cm y b = 400 cm y a/b = 12/400 = 3/100 = 0.03. Note que si expresamos las cantidades en metros tendremos a = 0.12 m y b = 4 m y la razón es la misma pues ahora a/b = 0.12/4 = 0.03.

Definición: Se llama proporción a la igualdad de dos razones.

En la proporción [pic 14][pic 15], los términos a y d se llaman extremos, mientras que b y c se conocen como los medios. También se dice que d es la cuarta proporcional de a, b y c. Otra forma de escribir una proporción es: a:b = c:d y en esta notación resulta claro el por qué de los términos  medios y extremos. Ya sea que la proporción se escriba [pic 16]  o de la forma  a : b = c : d, la proporción se lee “a es a b como c es a d”.

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