SISTEMA AXIOMÁTICO FORMAL (SAF)

SISTEMA AXIOMÁTICO FORMAL (S.A.F)

¿Qué es un S.A.F?

Sistema formado por un conjunto de enunciados no demostrados, denominados axiomas, y unas reglas deductivas que, aplicadas a ellos, nos permiten obtener otros enunciados llamados teoremas. El método axiomático consiste en aceptar sin prueba ciertas proposiciones como axiomas o postulados, y en derivar luego de esos axiomas todas las demás proposiciones del sistema, en calidad ya de teoremas. Los axiomas constituyen los "cimientos" del sistema; los teoremas son las "superestructuras", y se obtienen a partir de los axiomas sirviéndose, exclusivamente, de los principios de la lógica.

La principal característica de un sistema axiomático es que si puede demostrarse de alguna manera la verdad de los axiomas, quedan automáticamente garantizadas tanto la verdad como la consistencia mutua de todos los teoremas.

La lógica se organiza, o puede ordenarse, como un sistema axiomático formal (S.A.F).

Características de los Sistemas Axiomáticos Formales

• Consistencia:

Se pretende la exigencia de coherencia, es decir, que en un sistema axiomático no puede inferirse dos teoremas contradictorios a partir de los axiomas. Partiendo de los axiomas no debe ser posible deducir o demostrar un teorema y su negación. Es decir, el sistema no debe suponer contradicciones. Este requisito de consistencia es el más importante en lo que debe satisfacer un sistema axiomático.

• Completitud:

Significa que no es posible añadir al sistema una fórmula bien formada que no sea teorema sin que el sistema se vuelva inconsistente. Todo enunciado bien formulado que no sea deducible de sus axiomas tiene que estar en contradicción con una tesis del sistema.

• Independencia:

Los axiomas o fórmulas iniciales del sistema son independientes cuando ninguno de ellos pueden ser teoremas en el mismo sistema. Es decir, ninguno de los axiomas puede ser deducido, demostrado a partir de los demás, cada axioma debe ser independiente de los otros.

Elementos de los Sistemas Axiomáticos Formales

Según el enfoque moderno se enunciaran los que forman parte de los sistemas sintácticos, que ciertos agregados que bajo ciertas condiciones serán sistemas semánticos.

• Los términos primitivos o alfabeto básico son un listado de signos que no se le definen dentro del sistema y que podrán ser utilizados para definir otros. Además se pueden dividir en signos propios o impropios.

• Los signos propios son aquellos que al ser interpretados o se les asigna significados o se refieren a objetos específicos de la teoría. Pueden ser constantes y variables.

• Los signos impropios son aquellos que pertenecen a la lógica subyacente presupuesta en los sistemas matemáticos y explicitados en los sistemas lógicos.

• Morfología. En todos los sistemas se establecen explícita o implícitamente las formas en que pueden combinarse los signos en la formula, siendo ésta una sucesión finita de términos.

• Las definiciones permiten introducir en los sistemas axiomáticos signos nuevos a partir de los términos primitivos, que serían los términos definidos.

• Los axiomas constituyen un conjunto de fórmulas bien formadas que se adoptan como punto de partida o fórmulas iniciales, las cuales se aceptan sin demostración.

• Las reglas de inferencias son reglas cuya función principal es la de generar nuevas fórmulas a partir de los axiomas. Son en general procedimientos para obtener fórmulas nuevas a partir de otras fórmulas y se denominan regla de transformación y es todo lo que se necesita si se adopta una concepción sintactista de los sistemas axiomáticos.

• Una demostración es una secuencia de fórmulas

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