Geometría euclidiana y el sistema axiomático griego

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GEOMETRÍA 1

 Elvis Quirino García Ureña

Facilitador

Heidy E. Valera Cruz.

Participante

15-1701

Matricula

Geometría euclidiana y el sistema axiomático griego

Tema 1

07/07/2017

Realizado

Actividades de la unidad I

1) De la historia de geometría escribe:

1. ¿Quiénes desarrollaron la forma primitiva de la geometría?

Se cree que la geometría es una de las actividades más antiguas conocidas desde el punto de vista intelectual y que fueron los babilonios, alrededor del año  2000 a.C., y los egipcios, aproximadamente en 1300 a.C., quienes desarrollaron la forma primitiva de la geometría basados en mediciones y observaciones (método inductivo); las pirámides son una muestra de los conocimientos que ellos tenían de esta ciencia.

1. ¿De dónde se deriva la palabra geometría?

Se deriva de las palabras griegas «geo», que significa «tierra», y «metrón», que significa «medir».

1. ¿En qué consiste el tratado de Euclides denominado “Elementos” y como está estructurado?

Alrededor del año 300 a.C., Euclides de Alejandría recopiló en sus famosos Elementos de la geometría los conocimientos geométricos que existían hasta entonces. Los Elementos constan de trece libros (capítulos hoy en día) con 465 proposiciones, que comprenden la geometría plana, la geometría del espacio, la teoría de números y el álgebra geométrica griega. Los cinco primeros libros tratan de figuras planas, los cuatro siguientes son llamados aritméticas (teoría de números) y los tres restantes son dedicados a la geometría del espacio. También dejó Euclides un libro titulado Datos y escribió además sobre las secciones cónicas.

Estos elementos tienen 13 cap.  Con 465 proposiciones hasta hoy,  tales como:

• Los libros de 1 al 4 están basados sobre geometría plana.
• Los del 5 al 10 sobre las teorías de los números, razones y proposiciones.
• Del 11 al 13 la teoría del espacio, tratan sobre geometría de los cuerpos sólidos.
• También el álgebra geométrica griega

Y un libro titulado datos, al igualmente escribió sobre las secciones cónicas

2) Describe los postulados de Euclides y cuál es la controversia del V postulados?

1. Por dos puntos cualesquiera  C y D se traza una recta.

            C                     D[pic 2][pic 3]

1. Se puede prolongar la recta a partir de un segmento CD hacia la izquierda a partir del punto C hasta el infinito, y hacia la derecha a partir del punto D hasta el infinito.

_ _ _ _ _ _ _ _ _C _ _ _ _ _ _ D_ _ _ _ _ _  _ _ _ _ _ [pic 4][pic 5][pic 6]

1. A partir de fijar el punto C de un segmento CD se puede fijar el punto D hasta formar un circulo o un arco conservando siempre la misma distancia de CD.

                                                   D’[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

                                                                  D[pic 11]

1. Siempre todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
2. Y postulados de las paralelas: una recta al dividir sobre 2 rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontraran en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. La geometría en la que quinto postulado no se satisface, recibe el nombre de geometría no euclidiana, pero si se satisfacen los cuatro primeros postulados, se dice geometría absoluta.

                                                     h[pic 12][pic 13][pic 14]

        1a

                                                         k                3ª       p[pic 15][pic 16][pic 17]

        2a[pic 18]

                                                         j

Si las rectas k y j se presumen paralelas, pero las rectas las corta a las dos y sus ángulos internos a1 y a2 son menores a dos ángulos rectos indefectiblemente las rectas k y j se encontraran en punto p y formaran un ángulo a3.

3) Completa correctamente las siguientes cuestionantes:

1.  ¿Qué son términos primitivos? Son los objetos fundamentales para la geometría señaladas por Hilbert (1862-1943), estos son: el punto, la recta y el plano a los cuales se ciertas relaciones primitivas (estar en), colinealidad (entre), congruencia.
2.  ¿Qué relación hay entre ellos? La proyección del punto forma la recta y la proyección de la recta forma el plano, la proyección del Plano forma la recta o la proyección.
3.  ¿Cómo se pueden ordenar las partes? Los postulados lo podemos clasificar como:

• Postulado de incidencia (existencia y enlace).
• Postulado de orden (estar en)
• Postulado de congruencia (igualdad según Euclides)
• Continuidad y paralelismo.

1.  ¿Cómo se relacionan entre sí los términos más primitivos? Mediante enunciados tales como:

• El punto M en la recta L.
• El punto P está entre los puntos M y N de la recta L.
• Por los postulados siguientes:

Postulados de incidencia

• Postulado de la recta
• Postulado del plano
• Postulado del espacio

Postulados de orden

1. ¿Qué son puntos colineales de un segmento? Tres o más puntos están alineados o son colineales sí y solo si están en una misma recta.

4) Realiza un análisis del enfoque de Birkoff. Este formuló axiomas de la geometría Euclidiana diferentes a los de Hilbert, más, ahora mismo se trabaja en la geometría desde el punto de vista topológico que partiendo de un sistema axiomático como el de Hilbert, por eso una línea de trabajo se quedó un poco apartada y no es posible conseguir una informaciones recientes.

5) Enuncia los postulados de la recta, rayos, semi-rayos y segmentos

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