Solución De Las EDL No Homogéneas.

2.3 Solución de las EDL no homogéneas.

Una ecuación diferencial lineal no homogénea de coeficientes constantes, es de la forma: y^''+ f(x) y^'+ g(x)y=r(x), donde f(x), y g(x) son constantes (1).

La diferencia con las anteriores ecuaciones estudiadas estriba en que está igualada a una función de la variable independiente x. Esto nos sugiere una relación entre:

〖 y〗^''+ f(x) y^'+ g(x)y=0 y y^''+ f(x) y^'+ g(x)y=r(x)

Llamaremos y_h a la solución general de la ecuación homogénea correspondiente y y_p a una solución particular de la no homogénea que podamos encontrar de alguna manera; entonces, se puede establecer el siguiente teorema:

Teorema 4

Si y_h es la solución general de y^''+ f(x) y^'+ g(x)y=r(x) y y_p es cualquier solución particular de (1), entonces, y=y_h+y_p es la solución general de (1).

DEMOSTRACIÓN: Supongamos y=y_h+y_p es la solución de (1):

→y'=〖y'〗_h+〖y'〗_p

y''=〖y'〗_h+〖y''〗_p

Sustituyendo en (1):

y_h^''+y_p^''+f(x) 〖(y〗_h^'+y_p^')+g(x)(y_h+y_p )=r(x)

Agrupando:

〖(y〗_h^''+f(x) y_h^'+g(x) y_h)+(y_p^''+f(x) y_p^'+g(x)y_p)=r(x)

Como y_(h )es solución de la homogénea, el primer paréntesis se hace cero , y como y_p es solución de la no homogénea (1), el segundo paréntesis se convierte en r(x), por lo que

0 + r(x) = r(x)

Por lo tanto, y=y_h+y_p satisface la ecuación (1).

Conocida la solución y_h por los métodos anteriores, el problema se reduce a encontrar la solución y_p son: coeficientes indeterminados y variación de parámetros.

El método de variación de parámetros, llamado también método general, supone el cambio de las constantes c_1y c_2 de la solución y_h, por funciones de x.

El método de coeficientes indeterminados es más sencillo y se usa para ciertos tipos de la función r(x).

2.3.1 Método por Coeficientes Determinados.

Se usa para tres formas de r(x);r(x)=polinomio,r(x)=exponencial,r(x)=función trigonométrica, o combinaciones de ellas, que pueden resumirse, en forma general, de la siguiente manera:

r(x)=e^αx [P_n (x)cosβx+ Q_n (x)senβx]

Donde =α±iβ es raíz de la ecuación auxiliar y P_(m(x))y Q_n (x) son polinomios de grado m y n, respectivamente. Sebusca una solución particular y_p de la forma:

y_p=x^2 e^αx [P_k (x)cosβx+q_k (x)senβx]

Donde k=máx (m,n),p_k (x) y q_k (x) son polinomios en x de grado k, cuyos coeficientes están indeterminados, y z es la multiplicidad de la raíz =α±iβ de la ecuación auxiliar. La forma de y_p se puede resumir en el sieguiente cuadro:

Forma de r(x) Raíces de la ecuación auxiliar Forma de y, para k= máx(m,n)

P_m (x) i ≠0, i=1,2,…,z P_m (x)

Alguna i = 0 x^2 P_m (x)

P_m (x)e^αx α es raíz repetida z veces (de orden z) x^2 P_m (x)

α no es raíz P_m (x)e^αx

P_n (x)cosβx+ Q_n (x)senβx ±iβ no son raíces P_k (x)cosβx+ Q_k (x)senβx

±iβ son raíces de orden z x^z P_k (x)cosβx+ Q_k (x)senβx

e^αx [P_k (x)cosβx+q_k (x)senβx] ±iβ no son raíces 〖e^αx (P〗_k (x)cosβx+ Q_k (x)senβx)

±iβ son raíces de orden z 〖〖x^z e〗^αx (P〗_k (x)cosβx+ Q_k (x)senβx)

Ejemplo:

Encontrar y_p dada la ecuación y^''+2y^'+4y=5x^4+3x^2-x

→r(x)=5x^4+3x^2-x y ^2+2+4=0; =-1√3i

Por lo tanto, la solución y_p tendrá la forma de un polinomio de grado cuatro:

y_p=Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+E

Nótese que aunque faltan

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