Son aquellos productos en los cuales puede hallarse el resultado sin necesidad de efectuar la operación (multiplicaciones abreviadas).

PRODUCTOS NOTABLES

Son aquellos productos en los cuales puede hallarse el resultado sin necesidad de efectuar la operación (multiplicaciones abreviadas).

BINOMIO AL CUADRADO

Se caracteriza por ser una suma o una resta de dos cantidades elevada a la segunda potencia.

Procedimiento: Es igual al cuadrado del primer término, más o menos el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término.

Ejemplos:

(2b + 3c)2 = (2b)2 + 2(2b) (3c) + (3c)2

     = 4b2 + 12bc + 9c2

(5x3 – 3y4)2 = (5x3)2 – 2 (5x3) (3y4) + (3y4)2

     = 25x6 – 30x3y4 + 9y8

BINOMIOS CONJUGADOS

Se caracterizan por ser dos binomios con los mismos términos, uno con suma y otro con resta. También se le conoce a este caso como producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

Procedimiento: Es igual al cuadrado del primer término, menos el cuadrado del segundo término.

Ejemplos:

(2r3 + 5xy2) (2r3 – 5xy2) = (2r3)2 – (5xy2)2

                                   = 4r6 – 25x2y4

(4ab – 5cd) (4ab + 5cd) = (4ab)2 – (5cd)2

                                         = 16a2b2 – 25c2d2

BINOMIOS CON UN FACTOR COMÚN (x +a) (x + b)

Se caracterizan por ser dos binomios que tienen el primer término común (idéntico), el segundo es diferente y no tiene letras.

Procedimiento: Es igual al cuadrado del primer término, más o menos la suma o la resta de los segundos términos por cualquiera de los primeros, más o menos el producto de los segundos términos.

Ejemplos

(x + 11) (x + 2) = (x)2 + (11 + 2) (x) + (11) (2)

   = x2 + 13x + 22

(4m3 – 2) (4m3 – 5) = (4m3)2 + (- 2 – 5) (4m3) + (- 2) (- 5)

      = 16m6 – 28m3 + 10

BINOMIO AL CUBO

Se caracteriza por ser una suma o una resta de dos cantidades elevada a la tercera potencia.

Procedimiento: Es igual al cubo del primer término, más o menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple del primer término por el cuadrado del segundo, más o menos el cubo del segundo término.

Ejemplos:

(3m + 2n)3 = (3m)3 + 3 (3m)2 (2n) + 3 (3m) (2n)2 + (2n)3

                                                   = 27m3 + 54m2n + 36mn2 + 8n3

(k – w)3 = (k)3 – 3 (k)2 (w) + 3 (k) (w)2 – (w) 3

                                                       = k3 – 3k2w + 3kw2 – w3

FACTORES QUE DAN UNA SUMA O UNA DIFERENCIA DE CUBOS

Se caracterizan por ser un binomio y un trinomio.

Procedimiento: Es igual al cubo del primer término del binomio, más o menos el cubo del segundo término del binomio.

Ejemplos:

(4c + 3d) (16c2 – 12cd + 9d2) = (4c)3 + (3d)3

                                              = 64c3 + 27d3

(u – z) (u2 + uz + z2) = (u)3 – (z)3

                            =u3 – z3

CASOS ESPECIALES

Algunas multiplicaciones de trinomios pueden resolverse siguiendo las reglas de los binomios al cuadrado y manejarse como binomios conjugados, según el caso.

Ejemplo:

(a + b + c) (a + b – c) = ((a + b) + c) ((a + b) – c)

                = (a + b)2 – c2

                         = a2 + 2ab + b2 – c2

MÁXIMO COMÚN DIVISOR ALGEBRAICO (MCD)

Se encuentra obteniendo el MCD de los coeficientes. Para hallar el MCD de las literales, se toman las que sean comunes (o sea que estén en todos los términos del polinomio) con su menor exponente.

Ejemplos:

Hallar el MCD de 27b2c, 15bc2, - 9bc

El MCD de 27, 15 y - 9 es 3

Las letras comunes con su menor exponente son bc

MCD = 3bc

Hallar el MCD de 3m3, - 5m2n, - 7m8n2, 11m4z

El MCD de 3, - 5, - 7 y 11 es 1 (no se pone)

La letra común con su menor exponente es m2

 MCD = m2

Hallar el MCD de 18mx, - 9nx, 36x, - 54z

El MCD de 18, - 9, 36, - 54 es

No hay letras comunes

 MCD = 9

NOTAS IMPORTANTES:

1. Para elevar una literal al cuadrado, se multiplica su exponente por dos.
2. Para elevar una literal al cubo, se multiplica su exponente por tres.
3. Para obtener la raíz cuadrada de una letra, se divide su exponente entre dos
4. Para obtener la raíz cúbica de una letra, se divide su exponente entre tres.

FACTORIZACIÓN

La factorización consiste en descomponer una expresión algebraica en factores. Es la operación inversa de los productos notables.

FACTORIZACIÓN MEDIANTE EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

Esta descomposición se puede efectuar siempre y cuando todos los términos del polinomio tengan uno o más factores comunes, sean éstos numéricos o literales.

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