TRANSLACCION, ROTACCION Y SIMERÍA AXIAL.

repu Bolivariana de Venezuela

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

I.E San Miguel

[TRABAJO DE MATEMÁTICA]

TRANSLACCION, ROTACCION Y SIMERÍA AXIAL.

2do A

Bárbara Ynojosa#11

María Valeria Narváez #06

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN 4

TRANSLACIÓN 5

Definición 5

Representación matricial 5

Traslación de una recta 7

Composición de traslaciones 7

ROTACIÓN 8

Definición 8

Propiedades de la rotación 8

Rotación en el plano 9

SIMETRÍA AXIAL 10

Definición 10

Coordenadas de puntos mediante simetrías axiales 11

• Coordenadas de un punto simétrico al eje de coordenadas 11

• Coordenadas de un punto simétrico al eje de abscisas 11

Composición de simetrías axiales 12

• Simetría de ejes paralelos 12

• Simetría de ejes perpendiculares 12

• Ejes de simetría 13

EJERCICIOS 14

Translación 14

Rotación 15

Simetría Axial 15

CONCLUSIÓN 18

ANEXOS 20

Translación 20

Translación en la vida cotidiana 20

Rotación 21

Rotación en la vida cotidiana 21

Simetría Axial 22

Simetría Axial en la vida cotidiana 22

BIBLOGRAFÍA 23

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo, trata sobre translación, rotación y simetría axial en el plano cartesiano. Su finalidad es aprender más sobre el tema en la matemática, mediante definiciones y ejercicios.

Se anexan representaciones gráficas, ejemplos, teorías y fórmulas.

Iniciaremos el estudio de movimientos que puede ser realizado con puntos o figuras en el plano. Estos movimientos son llamados transformaciones en el plano.

Al aplicarse un movimiento a una figura, se obtiene otra que mantiene la misma forma y el mismo tamaño. Estos movimientos del plano pueden hacerse por translación, por rotación, y por simetría axial. Tienen la particularidad de que conservan las distancias y los ángulos, razón por la cual se llaman transformaciones isométricas.

4 

1) Traslación

Definición

Las traslaciones, pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector. Dado el carácter de isometría para cualquier punto P y Q se cumple la siguiente identidad entre distancias:

Más aún se cumple que:

Notas

• La figura trasladada es idéntica a la figura inicial.

• La figura trasladada conserva la orientación que la figura original.

Representación matricial

Puesto que una traslación es un caso particular de transformación afín pero no una transformación lineal, generalmente se usan coordenadas homogéneas para representar la traslación mediante una matriz y poder así expresarla como una transformación lineal sobre un espacio de dimensión superior.

Así un vector tridimensional w = (wx, wy, wz) puede ser reescrito usando cuatro coordenadas homogéneas como w = (wx, wy, wz, 1). En esas condiciones una traslación puede ser representada por una matriz como:

Ya que como puede verse, la multiplicación de esta matriz por la representación en coordenadas homogéneas de un vector da lugar al resultado esperado:

5

La inversa de una matriz de traslación puede obtenerse cambiando el signo de la dirección del vector desplazamiento

Similarmente, el producto de dos matrices de traslación viene dado por:

Debido a que la suma de vectores es conmutativa, la multiplicación de matrices de traslación es también conmutativa, a diferencia de lo que sucede con matrices arbitrarias, que no necesariamente representan traslaciones.

● En la figura tenemos el resultado de hacer avanzar el punto A(1,1) cuatro unidades en la dirección del eje de abcisas y dos en la de del eje de ordenadas:

La flecha azul, que llamaremos vector, muestra la trayectoria más corta que lleva B en B':

6

Traslación de una recta

Una recta se transforma, mediante una traslación, en una recta paralela.

Traslación de una circunferencia:

La homóloga de una circunferencia mediante una traslación es otra circunferencia de igual radio que tiene como centro el punto homólogo del centro de la circunferencia original.

Composición de traslaciones

7

Al aplicar sucesivamente dos traslaciones de vectores, se obtiene otra traslación cuyo vector es la suma de los vectores:

2) Rotación

Definición

Significa girar alrededor de un centro:

La distancia del centro a cualquier punto de la figura es la misma.

Cada punto sigue un círculo alrededor del centro.

Puedes girar objetos (punto a punto) con cualquier ángulo, alrededor de cualquier punto central.

El ángulo girado tendrá

Sentido positivo si el giro es opuesto al movimiento de las agujas del reloj.

Sentido negativo si el giro es el mismo sentido del movimiento de las agujas del reloj.

Propiedades de la rotación

Tanto la figura rotada como la original presentan las características siguientes

1. Son isométricas porque tienen iguales medidas. 8

2. Están en la misma distancia del centro de rotación.

3. No varían la forma del trabajo de la figura.

Ejemplo

• Al abrir una puerta esta gira sobre un eje llamado centro de rotación. Al mismo tiempo describe un ángulo llamado ángulo de rotación.

• Las manecillas del reloj en su movimiento realizan una rotación alrededor de un centro de rotación, describiendo un ángulo de rotación.

Rotación en el plano:

La rotación de centro Ω y

...