Teorema De Laplace

Teorema de Laplace

Nos cálculos dos determinantes, as regras práticas se estendem, em sua maioria, apenas para as matrizes quadradas de ordem igual ou menor que três. Para calcular o determinante das demais, é necessário usar o teorema de Laplace.

Para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem menor ou igual a 3 (n≤3), temos algumas regras práticas para realizar estes cálculos. Entretanto, quando a ordem é superior a 3 (n>3), muitas destas regras não são aplicáveis.

Por isso veremos o teorema de Laplace, que, utilizando o conceito do cofator, conduz o cálculo dos determinantes para regras que se aplicam a quaisquer matrizes quadradas.

O teorema de Laplace consiste em escolher uma das filas (linha ou coluna) da matriz e somar os produtos dos elementos dessa fila pelos seus respectivos cofatores.

Ilustração algébrica:

Vejamos um exemplo:

Calcule o determinante da matriz C, utilizando o teorema de Laplace:

De acordo com o teorema de Laplace, devemos escolher uma fila (linha ou coluna) para calcular o determinante. Vamos utilizar a primeira coluna:

Precisamos encontrar os valores dos cofatores:

Sendo assim, pelo teorema de Laplace, o determinante da matriz C é dado pela seguinte expressão:

Note que não foi preciso calcular o cofator do elemento da matriz que era igual a zero, afinal, ao multiplicarmos o cofator, o resultado seria zero de qualquer forma. Diante disso, quando nos depararmos com matrizes que possuem muitos zeros em alguma de suas filas, a utilização do teorema de Laplace se torna interessante, pois não será necessário calcular diversos cofatores.

Vejamos um exemplo deste fato:

Calcule o determinante da matriz B, utilizando o teorema de Laplace:

Veja que a segunda coluna é a fila que possui maior quantidade de zeros, portanto utilizaremos esta fila para calcular o determinante da matriz através do teorema de Laplace.

Portanto, para determinar o determinante da matriz B, basta encontrar o cofator A22.

Sendo assim, podemos finalizar os cálculos do determinante:

det B = (- 1) . (- 65) = 65

http://www.brasilescola.com/matematica/teorema-laplace.htm

Teorema de Binet

Para proporcionar maior rapidez e facilidade nos cálculos de determinantes referentes a matrizes-produto, veremos o teorema de Binet, que nos mostra uma relação entre os determinantes de forma que nos economiza o tempo de encontrar a matriz-produto.

Nas operações entre matrizes, sabemos que a multiplicação de matrizes é um processo longo e trabalhoso. Sendo assim, conheceremos hoje um teorema que evita ter que encontrar a matriz-produto para calcular o seu determinante, e no qual se pode usar o determinante de cada matriz em separado.

Para isso, enunciaremos o teorema de Binet e veremos como ocorre a sua aplicação no cálculo de determinantes.

“Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz-produto, dessa forma, temos que det(AB)=(det A).(det B).”

Ou seja,

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