Momentos y teorema de demoivre laplace

Universidad Católica del Norte
Depto. de Matemáticas

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Alumno: Claudio Anés
Profesor: Raúl Zhigley

ÍNDICE

Introducción…………..……………………………………………………………………………1

Esperanza matemática.....………………………………………………………………………..2

Propiedades de la esperanza……………………………………………………………………3

Momentos de una variable aleatoria……………………………………………………………4

Momentos con respecto a la media……………………………………………………………..7

Ejemplo para los momentos……………………………………………………………………16

Función generadora de momentos……………………………………………………………19

Propiedades de la función generadora de momentos……………………………………...20

F.G.M para la distribución binomial…………………………………………………………..21

F.G.M para la distribución normal…………………………………………………………….23

Teorema de DeMoivre-Laplace………………………………………………………………..27

Demostración del teorema de DeMoivre-Laplace…………………………………………..28

Ejemplo de Aplicación…………………………………………………………………………..32

Conclusión………………………………………………………………………………………...35

Bibliografía………………………………………………………………………………………..36

INTRODUCCIÓN

Mediante este informe se entregará información relevante y sumamente útil para las variables aleatorias y las distribuciones de probabilidad. ¿Cómo saber cuál es el valor esperado de una variable? ¿Se encontrarán muy dispersos los datos con respecto a su media? ¿Hay más datos a la izquierda o a la derecha del valor esperado?
Éstas y otras interrogantes podrán ser respondidas mediante ciertas cualidades de las variables, llamados momentos.

 Los momentos de una variable aleatoria X son los valores esperados de ciertas funciones de X y forman una colección de medidas descriptivas que pueden emplearse para caracterizar la distribución de  probabilidad de X y especificarla si todos los momentos de ésta son conocidos.

Otro tema importante que se revelará en este estudio es el Teorema de
DeMoivre- Laplace, el cual es una aproximación de la distribución binomial a la distribución normal, haciendo un trabajo menos laborioso y más rápido que al calcular los distintos valores que puede tomar X en la distribución binomial.

 Cabe destacar que ésta técnica solo se puede utilizar si se satisfacen ciertas condiciones y solo cuando n es grande.

 Las siguientes páginas detallarán con más detalles los distintos momentos de una variable aleatoria y la aproximación que se puede realizar desde la distribución binomial a la normal.

ESPERANZA MATEMÁTICA

 Antes de introducirnos a los temas principales, recordaremos el concepto de esperanza matemática, la cual será clave para una mejor adquisición comprensiva de los momentos de una variable aleatoria.

 La esperanza matemática de una variable aleatoria X, es el número E [X] que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

 Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado". En el sentido más general de la palabra; el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.

 Por ejemplo, si calculamos el valor esperado cuando tiramos un dado:

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 Valor que es imposible al lanzar el dado.

• Para una variable aleatoria discreta, la esperanza se calcula como:

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• Para una variable continua, la esperanza se calcula como:

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PROPIEDADES DE LA ESPERANZA

 Primera propiedad:

E[c] = c   , donde c es constante

Demostración:

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Segunda propiedad:

E [aX+b] = a E [X] + b, donde a, b son constantes y X una variable aleatoria

Demostración:

[pic 8]

Tercera propiedad:

 E [X+Y] = E [X] + E [Y], con X, Y variables aleatorias

Demostración:

[pic 9]

De las propiedades anteriores se desprende que el valor esperado es un operador lineal.

MOMENTOS DE UNA VARIABLE ALEATORIA

 Los momentos de una variable aleatoria X son los valores esperados de ciertas funciones de X. Éstos forman una colección de medidas descriptivas que pueden emplearse para caracterizar la distribución de  probabilidad de X y especificarla si todos los momentos de X son conocidos.

 A pesar de que los momentos pueden definirse alrededor de cualquier punto de referencia, generalmente se definen alrededor del cero o del valor esperado de X. El uso de los momentos de una variable aleatoria para caracterizar a la distribución de probabilidad es una tarea muy útil. Lo anterior es especialmente cierto en un medio en el que es poco probable que el experimentador conozca la distribución de probabilidad.

 Para X, variable aleatoria, definimos

E [] → Primer momento [pic 10]

E [] → Segundo momento[pic 11]

E [] → Tercer momento
 
E [] → n- ésimo momento [pic 12][pic 13][pic 14]

En estos casos, el momento de X está alrededor del cero.

 Los momentos de orden n, con respecto al origen. Se definen como la esperanza matemática de  y se representan . Así
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Momento cero con respecto al origen: 

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Primer momento con respecto al origen:

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 Como se mencionó anteriormente al primer momento alrededor del cero se le llama media o valor esperado.

Ejercicio:

Sea X una variable aleatoria, con función de probabilidad:

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Halle el valor de los primeros 4 momentos.

Solución:

Sabemos que

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Luego

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Así

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Volviendo a aplicar integración por partes:

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Así:

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 Si repetimos indefinidamente el proceso de integración por partes llegaremos a:

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De tal forma

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 Calculado el n-ésimo momento, ahora podremos calcular los momentos de la variable aleatoria pedidos

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MOMENTOS CON RESPECTO A LA MEDIA

  Se definen como la esperanza matemática de  y son representados  por [pic 34][pic 35]

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 Con una definición tanto en la variable aleatoria discreta, como en la variable aleatoria continua de la siguiente forma:

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Momento cero con respecto a la media:

 El momento central cero de cualquier variable aleatoria con respecto a la media es uno, dado que

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Primer momento con respecto a la media:

El primer momento central con respecto a la media es cero.

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Para el caso discreto:

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Para el caso continuo:

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Segundo momento con respecto a la media:

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 Al segundo momento central con respecto a la media lo conocemos como varianza y lo denotamos con  o también como Var(X), puesto que [pic 43]

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 La varianza de una variable aleatoria es una medida de dispersión de la distribución de probabilidad de ésta.

• Si la mayor parte del área bajo la curva de distribución se encuentra cercana a la media, entonces la varianza es pequeña.

• Si la mayor parte del área bajo la curva de distribución se encuentra muy dispersa alrededor de la media, entonces la varianza es grande.

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 Notemos que la varianza de una variable aleatoria es invariable, es decir,

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 De manera más general se demostrará que

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Demostración:

...